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三角形の内心

    ふ じ (id: 1353) （2023年1月7日2:30）
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    この問題のサシス以降がわかりません。 答えは2枚目です。 よろしくお願いします
    この問題のサシス以降がわかりません。
    答えは2枚目です。
    よろしくお願いします

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年1月7日9:22）
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    こんにちは。ずいぶん遅くまでがんばっているのですね！ さて、この出題はわざと面倒にしているように思えます。 順番を変えて、まずADの長さ（BDは∠Bの２等分線だから対辺を５：７に内分する）5/3をもとめ、次に△ABDで余弦定理よりBDの長さを求め、最後にBDの長さ（AIは∠Aの２等分線だから、対辺BDを５：5/3に内分する）を求めれば、それほどの計算量はなくてもできます。 しかし、出題された順で答えようとすると大変です（うまい手があるのかもしれませんがわかりません）。 BIの求め方…cos∠ABCを求め、半角の公式を使って$\sin \frac{B}{2}$ の値を求め、$\sin \frac{B}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI}$ よりBIを求めます。 ADの求め方は上と同じ、BDが角の2等分線だからAD:CD=5:7より求まります。 BDは、△ABDで余弦定理を使ってもいいし、上と同様にAIが∠Aの2等分線だからBI:ID=5:5/3で出してもいいし。 けっこう計算が大変かもしれません。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。
    こんにちは。ずいぶん遅くまでがんばっているのですね！

    さて、この出題はわざと面倒にしているように思えます。
    順番を変えて、まずADの長さ（BDは∠Bの２等分線だから対辺を５：７に内分する）5/3をもとめ、次に△ABDで余弦定理よりBDの長さを求め、最後にBDの長さ（AIは∠Aの２等分線だから、対辺BDを５：5/3に内分する）を求めれば、それほどの計算量はなくてもできます。

    しかし、出題された順で答えようとすると大変です（うまい手があるのかもしれませんがわかりません）。
    BIの求め方…cos∠ABCを求め、半角の公式を使ってsin⁡B2\sin \frac{B}{2} の値を求め、sin⁡B2=62BI\sin \frac{B}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI} よりBIを求めます。

    ADの求め方は上と同じ、BDが角の2等分線だからAD:CD=5:7より求まります。
    BDは、△ABDで余弦定理を使ってもいいし、上と同様にAIが∠Aの2等分線だからBI:ID=5:5/3で出してもいいし。

    けっこう計算が大変かもしれません。

    これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。
    （追記: 2023年1月9日9:25）
    はじめのやり方の説明の中の「最後にBDの長さ」は書き間違いで、「最後にBIの長さ」です。ごめんなさい。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 半角の公式などについて書きますね。 $\cos{B}=(余弦定理より)=\dfrac{29}{35}$ 半角の公式より $\sin^2{\frac{B}{2}}=\dfrac{1-\cos{B}}{2}=\dfrac{3}{35}$ よって $\sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}$ 内心I（内接円の中心）からBCに下ろした垂線の足をEとすると $ \sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{IE}{BI}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI}$ $BI=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sin{\frac{B}{2}}}=(途中計算略)=\dfrac{\sqrt{70}}{2}$ ということなのですが、めんどうですね！ これで大丈夫ですか？
    はじめのやり方の説明の中の「最後にBDの長さ」は書き間違いで、「最後にBIの長さ」です。ごめんなさい。
    ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
    半角の公式などについて書きますね。

    cos⁡B=(余弦定理より)=2935\cos{B}=(余弦定理より)=\dfrac{29}{35}

    半角の公式より
    sin⁡2B2=1−cos⁡B2=335\sin^2{\frac{B}{2}}=\dfrac{1-\cos{B}}{2}=\dfrac{3}{35}
    よって sin⁡B2=335\sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}

    内心I（内接円の中心）からBCに下ろした垂線の足をEとすると
    sin⁡B2=IEBI=62BI \sin{\frac{B}{2}}=\dfrac{IE}{BI}=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{BI}
    BI=62sin⁡B2=(途中計算略)=702BI=\dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sin{\frac{B}{2}}}=(途中計算略)=\dfrac{\sqrt{70}}{2}

    ということなのですが、めんどうですね！

    これで大丈夫ですか？
    ふ じ (id: 1353) （2023年1月8日23:02）
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    半角の公式を用いたsinB/2の求め方がイマイチわかりません。よろしければ教えていただきたいです。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年1月9日9:26）
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    こんにちは。上の回答に追記しましたので読んでおいてください。 ではまた。

    ふ じ (id: 1353) （2023年1月9日23:07）
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    理解できました！ありがとうございました！

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