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微分

    高橋 光治 (id: 339) （2021年9月28日11:53）
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    赤い線のところどこから出てきたのか分からないです
    赤い線のところどこから出てきたのか分からないです

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    回答

    imka ury (id: 260) （2021年9月28日23:19）
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    割り算して数列の総和から求められます。 　$ x^n -a^n$ 　$ = (x-a) (x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1})$ より 　$\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1}$ よって 　$ \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = na^{n-1}$ または、ロピタルの定理を使って、 　$ \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = \lim_{x \to a}\dfrac{(x^n -a^n)^\prime }{(x-a)^\prime}$ 　　　　　　　　　$=\lim_{x \to a}\dfrac{nx^{n-1}}{1}$ 　　　　　　　　　$=na^{n-1}$
    割り算して数列の総和から求められます。

    　xn−an x^n -a^n
    　=(x−a)(xn−1+axn−2+a2xn−3+⋯+an−1) = (x-a) (x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1})

    より

    　xn−anx−a=xn−1+axn−2+a2xn−3+⋯+an−1\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1}

    よって
    　lim⁡x→axn−anx−a=nan−1 \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = na^{n-1}


    または、ロピタルの定理を使って、
    　lim⁡x→axn−anx−a=lim⁡x→a(xn−an)′(x−a)′ \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = \lim_{x \to a}\dfrac{(x^n -a^n)^\prime }{(x-a)^\prime}
    　　　　　　　　　=lim⁡x→anxn−11=\lim_{x \to a}\dfrac{nx^{n-1}}{1}
    　　　　　　　　　=nan−1=na^{n-1}
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