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数列

    Haruka (id: 385) （2021年10月18日0:51）
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    至急 この問題の解き方を教えてください。
    至急
    この問題の解き方を教えてください。

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    回答

    imka ury (id: 260) （2021年10月18日10:10）
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    等比数列の初項を $a$, 公比を $r$ とすると、 $a_n=ar^(n-1)$ $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ , $( r\ne 1 )$ $S_{10}=216$ より 　$\dfrac{a(1-r^{10})}{1-r}=216 \dots$ ① $S_{20}=648$ より 　$\dfrac{a(1-r^{20})}{1-r}=648 \dots$ ② 求める値を $T$ とおくと 　$\dfrac{a(1-r^{30})}{1-r}=T \dots$ ③ ②÷①より 　$\dfrac{1-r^{20}}{1-r^{10}}=3$ 　$r^{20}-3r^{10}+2=0$ 　$(r^{10}-1)(r^{10}-2)=0$ 　∴ $r^{10}=1$ または $r^{10}=2$ 　∴ $r=1$ または $r=2^\frac{1}{10}$ 　$r\ne 1$ だから $r=2^\frac{1}{10} \dots$ ④ のみ適する これを①に代入して 　$\dfrac{a(1-2)}{1- r}=216$ 　∴ $\dfrac{a}{1-r}=-216 \dots$ ⑤ #③を求めるとき $\dfrac{a}{1-r}$ を使うのでわざとこのままの形にしてます ④⑤を③に代入する 　$T=(-216)\times (1-8)=1512$
    等比数列の初項を aa, 公比を rr とすると、
    an=ar(n−1)a_n=ar^(n-1)

    Sn=a(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} , (r≠1)( r\ne 1 )

    S10=216S_{10}=216 より
    　a(1−r10)1−r=216…\dfrac{a(1-r^{10})}{1-r}=216 \dots ①

    S20=648S_{20}=648 より
    　a(1−r20)1−r=648…\dfrac{a(1-r^{20})}{1-r}=648 \dots ②

    求める値を TT とおくと
    　a(1−r30)1−r=T…\dfrac{a(1-r^{30})}{1-r}=T \dots ③

    ②÷①より
    　1−r201−r10=3\dfrac{1-r^{20}}{1-r^{10}}=3

    　r20−3r10+2=0r^{20}-3r^{10}+2=0
    　(r10−1)(r10−2)=0(r^{10}-1)(r^{10}-2)=0
    　∴ r10=1r^{10}=1 または r10=2r^{10}=2
    　∴ r=1r=1 または r=2110r=2^\frac{1}{10}
    　r≠1r\ne 1 だから r=2110…r=2^\frac{1}{10} \dots ④ のみ適する

    これを①に代入して
    　a(1−2)1−r=216\dfrac{a(1-2)}{1- r}=216
    　∴ a1−r=−216…\dfrac{a}{1-r}=-216 \dots ⑤

    #③を求めるとき a1−r\dfrac{a}{1-r} を使うのでわざとこのままの形にしてます

    ④⑤を③に代入する
    　T=(−216)×(1−8)=1512T=(-216)\times (1-8)=1512
    Haruka (id: 385) （2021年10月19日7:46）
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    ありがとうございます。

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