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定積分と不等式の証明の問題について

    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月19日13:39）
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    添付した画像の赤線で囲まれた部分は、解答を記述するのに必要な記述なのでしょうか？証明する不等式に合わせて、 2x/π≦sinx≦xを2x/π＜sinx＜xにするにあたって、それが区間0＜x＜π/2の場合のときであるというのは示す必要があるのですか？ここのところを分かりやすく教えていただけるとありがたいです。(2枚目の画像はくさぼうぼうさんの回答を受けてイメージしたもの)
    添付した画像の赤線で囲まれた部分は、解答を記述するのに必要な記述なのでしょうか？証明する不等式に合わせて、
    2x/π≦sinx≦xを2x/π＜sinx＜xにするにあたって、それが区間0＜x＜π/2の場合のときであるというのは示す必要があるのですか？ここのところを分かりやすく教えていただけるとありがたいです。(2枚目の画像はくさぼうぼうさんの回答を受けてイメージしたもの)

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月19日15:09）
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    Beat Popさん、こんにちは。 ここは書き方の問題で、なにもこのように書かなくてはいけないわけではありません。 $\dfrac{2}{\pi}x\leqq\sin x \leqq x$ のまま、 $e^{\frac{2}{\pi}x} \leqq e^{\sin x}\leqq e^x$ と書いても問題はないですが、 （なぜなら本当に等号が成立することがあるので） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2}{\pi}x} dx \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}dx\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^xdx $ は正しくありません。なぜなら、初めの不等式の等号は、ｘが０からπ/2のあいだず～っと成り立っているわけではないからです。 このことを言えばいいのです。この解答ではそのようになっていますし、あるいは積分する前までは等号を入れていて、そこでたとえば、 「区間[０、π/2]では等号が成り立つのはx=0,π/2のときだけで、その他の値の時は $\dfrac{2}{\pi}x <\ sin x < x$ であるので、」こととわって、積分した式では等号なしにすればいいです。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　12/19 16:40 はじめの不等式っていうのは、与えられた不等式 $\dfrac{2}{\pi}x\leqq\sin x \leqq x$ のことです。 積分は両端だけでなくその途中のf(x)の値を集積して計算するものです。 定積分の定義 $\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n f(a+\dfrac{k}{n})\cdot \dfrac{1}{n}$ で、$ f(a+\dfrac{k}{n})$ は積分範囲のすべての値を動きます。 この問題ではたまたま両端で等しかったけれど、０とπ/2のあいだでは等号のない不等式が成り立っているよ。ということです。 だから積分（足し算）していけば等号は成り立たず、等号なしの不等号になりますよ、ということなんですが。 これで大丈夫ですか？
    Beat Popさん、こんにちは。

    ここは書き方の問題で、なにもこのように書かなくてはいけないわけではありません。

    2πx≦sin⁡x≦x\dfrac{2}{\pi}x\leqq\sin x \leqq x のまま、

    e2πx≦esin⁡x≦exe^{\frac{2}{\pi}x} \leqq e^{\sin x}\leqq e^x と書いても問題はないですが、
    （なぜなら本当に等号が成立することがあるので）

    ∫0π2e2πxdx≦∫0π2esin⁡xdx≦∫0π2exdx\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\frac{2}{\pi}x} dx \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}dx\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^xdx

    は正しくありません。なぜなら、初めの不等式の等号は、ｘが０からπ/2のあいだず～っと成り立っているわけではないからです。

    このことを言えばいいのです。この解答ではそのようになっていますし、あるいは積分する前までは等号を入れていて、そこでたとえば、
    「区間[０、π/2]では等号が成り立つのはx=0,π/2のときだけで、その他の値の時は
    2πx< sinx<x\dfrac{2}{\pi}x <\ sin x < x であるので、」こととわって、積分した式では等号なしにすればいいです。

    これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。

    ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
    追記　12/19 16:40

    はじめの不等式っていうのは、与えられた不等式
    2πx≦sin⁡x≦x\dfrac{2}{\pi}x\leqq\sin x \leqq x
    のことです。

    積分は両端だけでなくその途中のf(x)の値を集積して計算するものです。
    定積分の定義
    ∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(a+kn)⋅1n\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n f(a+\dfrac{k}{n})\cdot \dfrac{1}{n}
    で、f(a+kn) f(a+\dfrac{k}{n}) は積分範囲のすべての値を動きます。
    この問題ではたまたま両端で等しかったけれど、０とπ/2のあいだでは等号のない不等式が成り立っているよ。ということです。
    だから積分（足し算）していけば等号は成り立たず、等号なしの不等号になりますよ、ということなんですが。

    これで大丈夫ですか？
    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月19日16:02）
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    くさぼうぼうさん、ご回答ありがとうございます。お聞きしたいことが2つあります。1つ目はくさぼうぼうさんの回答中の「なぜなら、初めの不等式は～」のところの「初めの不等式」というのはどれのことなのかということです。2つ目はくさぼうぼうさんの回答中に「区間[０、π/2]では等号が成り立つのはx=0,π/2のときだけで、その"他の値の時"は2/π < sinx < xであるので」とありますが、0≦x≦π/2の区間で積分するのに、なぜその"他の値の時"ということになるのか分からなかったので、そこの部分を詳しくお聞きしたいです。ご回答よろしくお願いします。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月19日16:45）
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    上の回答に追記したので読んでください。

    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月19日21:11）
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    くさぼうぼうさん、返信ありがとうございます。なぜ積分するにあたって等号無しの不等号になるのかがまだ理解できないでいます。0≦x≦π/2がいつも等号が成り立つわけでなく、x = 0, π/2のときのみ成り立つということは理解できていて、その他の値では 2x/π<sinx<xであることも理解できています。しかし、この問題を解くうえで出てきた0<x<π/2という区間と0≦x≦π/2という区間がそれぞれどんなことを示していて、どういう関係を持っているのかが分からないのですが、ここの部分を詳しく教えていただけると幸いです。ご回答よろしくお願い致します。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月19日22:17）
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    はい、積分は0≦x≦π/2の区間で行いますよ。その間、左辺、中辺、右辺は両端でこそ値は同じですが、それ以外では被積分関数は等号はなくて”＜”が成り立ちます。図形的な説明としては、3つの被積分関数は範囲の両端では同じ点（０，１）と（π/2、ｅ）なのですが、あいだでは左辺の関数のグラフが一番下に来て、右辺の関数のグラフが一番上。中辺の関数のグラフがその間に来ます。定績分はグラフとⅹ軸との間の面積と解釈できますから、このようなグラフの上下関係では面積が等しくなることはありません。それが「定積分にすると等号がなくなる」ということなんです。 これでどうでしょうか？イメージがわきますか？

    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月20日0:42）
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    くさぼうぼうさん、ご返信ありがとうございます。イメージがわきました。上の質問のところに新たに添付したイメージで合っているでしょうか？質問上に載せた解答を自分なりに整理しますと、質問上に載せた解答の最初から①の部分(「2/π < sinx < xにおいて～e^(2/π)<e^(sinx)<e^x　・・・①」の部分)・・・＊は今回の被積分関数は今私にわいてきたイメージのようになりますよということを示していて（具体的に言うと、x=0, π/2で両端がぴったりくっついていて、その間は関数によって大中小のように分かれている）、この問題のゴールである不等号の証明を行うために実際に定積分を行うとなったときに、＊の部分で確認したようなイメージになっているために、等号をなくして定積分する。 ということで合ってますかね？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月20日7:58）
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    そうです、そうです！だいたいそういうことです。 ちょっと変えさせてもらうと、「等号をなくして定積分する」ではなくて、「定積分をしたら、等号がなくなっちゃう（等号をつけられなくなる）」という感じなのですが。でも、わかってもらえて良かったです。

    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月20日17:10）
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    つまり、関数の大小の比較ではその関数のとる値で比べているのに対し、関数を定積分したものの大小の比較では、ある区間での被積分関数とx軸に挟まれたところの面積(面積と捉える以外にも解釈できるかもしれませんが)で比べていて、考え方が異なり、その関係上、定積分をすると等号がつけられなってしまうということですかね？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月20日18:45）
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    はい！バッチリです！！！

    Beat Pop (id: 2750) （2023年12月20日23:49）
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    ありがとうございます！スッキリしました！私の質問に長い間付き合っていただき、ありがとうございました。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年12月21日8:08）
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    どういたしまして。こういう会話を望んでいました。お役に立てたならよかったです。

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