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x^xの広義積分

    白岩 昂 (id: 490) (2024年3月20日17:30)
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    画像の広義積分の解き方が分かりません ロピタルの定理を使って行くと思うのですが、そこに行くまでが分かりません。 お願いします
    画像の広義積分の解き方が分かりません
    ロピタルの定理を使って行くと思うのですが、そこに行くまでが分かりません。
    お願いします

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2024年3月20日20:23)
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    白岩 昂さん、こんばんは。初めての方かな?よろしく。 まずは 与式=$\lim_{t\rightarrow+0}\int_t^2 x^x(\log x+1)$ としますよね。ロピタルの定理を使ってとか書いてありますので、置換積分などはできているのですね?最後の最後、$\lim_{t\rightarrow+0}t^t$ をロピタルの定理を使って求めるところの説明を書きますね。 これは、$t^t$ の対数の極限を調べます。 $\lim_{t\rightarrow+0}\log t^t$ $=\lim_{t\rightarrow+0}t\log t$ これを無理やり $=\lim_{t\rightarrow+0}\dfrac{\log t}{\frac{1}{t}}$ としておいて、ロピタルの定理を使います。 $=\lim_{t\rightarrow+0}\dfrac{\frac{1}{t}}{-\frac{1}{t^2}}$ $=\lim_{t\rightarrow+0}(-t)=0$ 対数の極限が0なので、真数$t^t$ の極限は1と分かります。 あとは、与式= $\lim_{t\rightarrow+0}[x^x]_t^2=\lim_{t\rightarrow+0}(4-t^t)=4-1=3$ となります。 これで大丈夫ですか? これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。
    白岩 昂さん、こんばんは。初めての方かな?よろしく。

    まずは 与式=limt+0t2xx(logx+1)\lim_{t\rightarrow+0}\int_t^2 x^x(\log x+1) としますよね。ロピタルの定理を使ってとか書いてありますので、置換積分などはできているのですね?最後の最後、limt+0tt\lim_{t\rightarrow+0}t^t をロピタルの定理を使って求めるところの説明を書きますね。
    これは、ttt^t の対数の極限を調べます。
    limt+0logtt\lim_{t\rightarrow+0}\log t^t
    =limt+0tlogt=\lim_{t\rightarrow+0}t\log t
    これを無理やり
    =limt+0logt1t=\lim_{t\rightarrow+0}\dfrac{\log t}{\frac{1}{t}}
    としておいて、ロピタルの定理を使います。
    =limt+01t1t2=\lim_{t\rightarrow+0}\dfrac{\frac{1}{t}}{-\frac{1}{t^2}}
    =limt+0(t)=0=\lim_{t\rightarrow+0}(-t)=0
    対数の極限が0なので、真数ttt^t の極限は1と分かります。

    あとは、与式= limt+0[xx]t2=limt+0(4tt)=41=3\lim_{t\rightarrow+0}[x^x]_t^2=\lim_{t\rightarrow+0}(4-t^t)=4-1=3
    となります。

    これで大丈夫ですか?
    これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。
    白岩 昂 (id: 490) (2024年3月22日13:37)
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    ありがとうございます! よくわかりました!!

    くさぼうぼう : (id: 1236) (2024年3月22日14:22)
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    お役に立てたなら良かったです。またどうぞ!

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