漸化式の特殊解

この式がどうようにしてこう言った変形になるのか教えてください

ア トマ さん、こんにちは。 漸化式の勉強の時は、特性方程式というものを知っておくといいのですが、ご存じですか？ これはその武器を使っています。 ２項間漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ というタイプの場合、 $t=pt+q$ をその特性方程式と言い、これをｔについて解くと $t=\dfrac{q}{1-p}$ となり、このｔの値を使うと、もとの漸化式が $a_{n+1}-t=p(a_n-t)$ と変形でき、数列 $\{a_n-t\}$ は公比ｐの等比数列になってくれます。 以下、証明です。パスしてもいいですが。 $a_{n+1}-\dfrac{q}{1-p}=p(a_n-\dfrac{q}{1-p})$ を整理すると $a_{n+1}-\dfrac{q}{1-p}=pa_n-\dfrac{pq}{1-p}$ $a_{n+1}=pa_n+\dfrac{q-pq}{1-p}$ $a_{n+1}=pa_n+\dfrac{q(1-p)}{1-p}$ よって$a_{n+1}=pa_n+q$ と、もとと同じ漸化式であることが確かめられるのです。 というわけで、いま問題になっている漸化式は $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+2$ なので、特性方程式は $t=\dfrac{1}{3}t+2$ これを解くと $t=3$ 。 よって、元の漸化式は $a_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}(a_n-3)$ と変形でき、 数列 $b_n=a_n-3$ は、公比1/3の等比数列として扱えるのです。 漸化式の特性方程式がうまく使えないとmこのような漸化式は大変です。ぜひ勉強しておいてください。ネットで調べればいろいろな解説がヒットしますから、分かりやすいものを見つけたらいいと思います。3項間の漸化式の特性方程式もあります。これを知らないとなかなか解けませんよ。 これで大丈夫ですか？いつものように、これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に書いてください。会話型を目指しています。よろしく。 ================================= 追記　6/30　20:20 答案、拝見しました。 ま、たぶん大丈夫なんだと思いますが、答案の書き方がちょっとまずいような気がしますので、念のため書きますね。 まず、特性方程式ですが、きちんと断って使うか、一切触れずに（欄外とか裏で計算）結果だけを書くかです。 ｐとかは私が書いた記号なので、答案ではだめですよ。 ＜答案例＞ 漸化式　$a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+2$ の特性方程式は $t=\dfrac{1}{3}t+2$ これよりt=3。これを用いて与えられた漸化式は $a_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}(a_n-3)$ と変形でき、 $b_n=a_n-3$ と置けば、数列 $\{a_n\}$ は初項が-2、公比が1/3の等比数列である。 よって $b_n=-2\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{n-1}$ これより $a_n=-2\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{n-1}+3$ （終わり） こんな感じですよ。高校数学の答案っていうのは、自分用のメモや計算を書くのではなく、ほかの人に読んでもらって自分の考えが正しいことを主張する、というものなのです。だから、考えの筋道や根拠などを「よって」とか「これより」とか「だから」とかでつなぎながら書きますよ。問題集の解答をまねるようにしましょう。 これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。