東進　数列

東進の大吉先生がこの公式についてa1,a2,a3,a4…….anを足したものをその中で中央にある値がn個と考えれば、一次式にnをかけるので全体は絶対に2乗になると言っていたのですがよくわかりません。教えてください。

h k さん、こんにちは。 他の人が言ったことを解説するのは難しいですが…私は聞いていませんし… たぶん…「中央にある値がn個と考えれば」というのは間違いでは？ｎが奇数ならそうですが、偶数の時は「中央の2項の平均がｎ個あると考えて」となります。 簡単なためにｎが奇数の場合を書くと、中央の項は $\dfrac{n+1}{2}$ です。初項１と末項ｎを足して2で割ると中央の項 $\dfrac{1+n}{2}$ になるのはいいですか？だから和を考える時は初項と末項をどちらも中央の項に置き換えてもいいですね。第2項と(n-1)項についても、足して2で割ると中央の項になりますので、第2項と第(n-1)項は中央の値に置き換えてもいいですね。以下同様にしていくとすべての項が中央の項 $\dfrac{1+n}{2}$ になりますので、和を考える時は「中央にある値がｎ個あると考えられる」と言えます。$\dfrac{1+n}{2}\times n$ で、ｎの2次式です。 ｎが偶数のときもやってみてください。中央は$\frac{n}{2}$と$\frac{n}{2}+1$です。足して2で割ると $\left(\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{2}+1\right)\div 2=\dfrac{n+1}{2}$ です。初項１と末項ｎを足せば1+nですから初項と末項を$\dfrac{n+1}{2}$ でおきかえても和は変わりません。以下同様に… このことは、自然数の和でなくても等差数列なら同じことが言えます。一般に等差数列はｎの1次式ですね。一般項がｎの1次式という意味です。ｎが奇数の時は中央の項つまり第(n+1)/2項もｎの1次式ですね。具体的には $a_{\frac{n+1}{2}}=a+\left(\frac{n+1}{2}-1\right)d$ です。これにｎをかけるからｎの2次式になる、と言っているのかも。聞いてないからわからないけど。 その先生に質問できないのですか？