空間図形とベクトル

⑴の最初のAM＝√３というのはどういう計算で出てくるのですか？ ⑴はそこ以外は理解できました。 ⑵は全体的に理解できないです。とくにO Qベクトルを求める計算のところから何をやっているかわからないです。 よろしくお願いします。

Lulu さん、こんにちは。 （１）の質問は、特別な直角三角形の辺の比から求まります。３０°６０°９０°の直角三角形の辺の比は１：２：√3というのは大丈夫ですか？ 一番短い辺が１、斜辺が２、残りの中ぐらいの長さの辺が√3です。直角三角形ABMを考えるとその角度の直角三角形で、たまたま斜辺ABの長さが２なのでそのまま中ぐらいの長さの辺AMは√3の長さになります。これで大丈夫ですか？１：２：√3になる説明が必要なら言ってください。 （２）Qは平面ABCの上にあります。平面ABC上の点の位置ベクトルOQは $OQ=pa+qb+rc,p+q+r=1$ …①と書けるのは大丈夫ですか？このことは $OQ=\dfrac{xa+yb+zc}{x+y+z}$ …②とも書けます。これは大丈夫ですか？$p=\dfrac{x}{x+y+z},q=\dfrac{y}{x+y+z},r=\dfrac{z}{x+y+z}$ として①に適用するとｐ＋ｑ＋ｒ＝１になってますから。模範解答では②の方を使っています。ベクトルOPではｘ＋ｙ＋ｚ＝６ですが分母は６ではなく８なのでもちろんPは平面ABC上にはありません。これを分母を６にするという無理やりな変形をします。よくやる手です。分母が８の分数を分母が6の分数を使って表わします。$\dfrac{A}{8}=\dfrac{A}{6}\times \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{A}{6}$　。模範解答の「またOP=…であるから」というところがそれにあたります。 このように無理やりですが変形してみると、「…であるから」の行のカッコの中の式で表わされるベクトルは②をみたしているのでそのベクトルの終点は平面ABCにあります。しかもそれははOPの3/4倍ですから、その点は直線OP上にある。だからカッコ内の式で表されるベクトルは直線OP上にあり、しかも平面ABC上にもあるのだから、これがQを表す位置ベクトルだ！！と考えています。 慣れないうちは、なぜこんな変形をするのか戸惑いますが、目的「①あるいは②の形を作れば平面ABC上の点の位置ベクトルになる」という方針でやっているのです。 ちょっと模範解答の解説が不足ですね。あるいは、この問題集が中級以上で「そのくらいのことは理解しているはずだ」というスタンスなのかもしれません。ふつうこれを15分でやるのは至難です。これは学校の問題集ですか？もし全問やるのが大変ならとりあえずは「実践問題」というのは後に回してもいいと思います。標準レベルのをマスターしてから（長期休みなどに）戻ってくればいいと思います。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。