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平面の方程式について
写真の赤線部についてですが、
確かに図11.19のようにd=n|OH|と表されるのはわかるのですが、OHの長さはP0の取り方で変わる、つまり同時にdの値もP0によって変わると思うのですが、なぜdはP0に依らない定数であるということが言えるのでしょうか？
回答
あか 青 さん、こんにちは。ちょっとおひさしぶりですね。
下のほうの図で、PHがその平面に含まれる線分であることをわかってください。
Hの説明をちょっと変えます。
平面αと法線ベクトルの方向の直線ｍとの交点をHとしますよ。P0とHを結びます。この時、平面αと直線ｍはもともと垂直ですから、平面内の直線P₀Hも直線ｍと垂直です。よってこのように決めたHは解説のように決めたHと一致します。
私が決めた点Hは定点です。よってP₀がどこにあってもP₀から法線ベクトルｎにおろした垂線の足Hは動きません。
これで大丈夫ですか？
あまり返事を返してくれていませんが、ここでは会話型を目指しています。回答を読んだら、コメント欄に、分かったとか、まだこの辺が理解できないとか、へんじを書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。
回答ありがとうございます。 質問の内容とは少し脱線してるかもですが、図11.19のn→は図11.18のn→の始点を原点に(平行)移動したものでしょうか？
はい、そうです。 質問に関しては疑問は解消されましたか？
くさぼうぼうさんのHのとり方と図11.19のHのとり方が同じというのがイマイチ腑に落ちないです。くさぼうぼうさんのやり方でHを取るとHは原点になるのではないのでしょうか？
いえ、一般には平面αは原点を通っていません。
なぜ平面が原点を通ることは考えないのでしょうか？
いや、考えたっていいですが、その時は点Hが原点に一致するだけで特に問題は起きません。OP₀⊥ｎとなり、内積は０ですし、OHの長さも０です。この問題で「平面が原点を通る」という特別な場合を議論しても意味がありません。一般に成り立つことを議論すれば特別な場合も入りますから。これで大丈夫ですか？
返信遅れてすみません 理解できました ありがとうございます
それならよかったです。