青チャート数学3Cの303ページの基本例題178の小問(2)の、 曲線　y=-cosx(0<=x <=π)と、 y=1/2, y=-1/2, y軸に囲まれた面積の計算について

大学受験で、理系数学をチャートで勉強している受験生です。 数学3積分の面積の計算で、積分の計算について質問いたします。 青チャート数学3Cの303ページの基本例題178の小問(2)の、 曲線　y=-cosx(0<=x <=π)と、 y=1/2, y=-1/2, y軸に囲まれた面積の計算です。 解説では、高校数学の範囲では、 y=-cosxをx=g(y)の形に出来ない。 そこで、置換積分法を利用すると、簡単に書いてあります。 そして、 y=-cosxから、dy=sinxdy として、 S=∮(範囲-1/2から1/2まで)xdy=∮(範囲π/3から2π/3まで)xsindx =[-xcosx](範囲π/3から2π/3まで)+∮(範囲π/3から2π/3まで)cosxdx =-2π/3(-1/2)+π/3•1/2+[sinx](範囲π/3から2π/3まで) =π/3+π/6+0=π/2 と書いてあります。 ここで、置換積分を用いているようですが、 y=-cosxは、 なぜdy=sinxdxとして変換すれば、 x=f(y) の式に変換できるのでしょうか？ y=-cosxより、 dy/dx=(-cosx)dx dy/dx=sinx となりますが、 そこから、なぜ x=f(y)の式に変換できるのか、置換積分の式変形の過程が理解できません。 積分の分野は勉強不足なので、詳しくご教示頂けましたら幸いです。

Kay Mai さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 $y=f(x)=-\cos x$ の逆関数（というか、ｙをｘについて解いた式）を $x=g(y)$ とします。これを使うと求めるものは $$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(y)dy$$ と書けるのは大丈夫ですか？ また $g(f(x))=x$ も大丈夫ですか？ｇはｆの逆関数ですからね。 ここでｙを$-\cos t$ と置換しますよ。混乱を避けるためにｘではなくｔでいきます。 $y=-\cos t$ を微分して $dy=\sin t dt$ はいいですか？ また、g(y)はーcosｘの逆関数なので、 $g(-\cos t)=g(f(t))=t$ となりますよ。 積分範囲については大丈夫かな？ 以上より、 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(y)dy=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} g(-\cos t)\cdot \sin t dt=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3}\pi} t\cdot \sin t dt$ という置換積分になります。模範解答では置換する変数にｘをそのまま使っていますが、置換積分というなら文字を変えるべきです。 これで大丈夫ですか？ ただ、この方式の積分は、あまり置換積分などと考えなくてもいいのです。 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x dy$ のdyの部分を $y=-\cos x$ を微分することにより $dy=\sin xdx$ にしてやれば、積分に関して出てくる文字はｘのみになったので、積分範囲を考慮すれば普通に積分ができます。ｙで積分するところをｘで積分するように変形したと考えます。この考えの方が一般的で、いろいろな積分で使えます。たとえば（１）だって、$dy=\dfrac{e}{x}dx$ として $\int_{-1}^{2e} x dy=\int_{\frac{1}{e}}^{e^2} x \dfrac{e}{x}dx=\int_{\frac{1}{e}}^{e^2}edx $ で求まります。これならｘ＝…の式を作らなくてもできますね。 問題集のこの問題の目的が置換積分の利用ならしょうがないですが、普通ならもちろん別解のようにやりますね。 これで大丈夫ですか？ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。