媒介変数表示の曲線と面積について

Kay Mai (id: 4069) （2025年4月23日3:20）

大学受験のために、理系数学を勉強している受験生です。媒介変数表示の曲線と面積について質問させて頂きます。媒介変数表示の曲線と面積の計算について質問です。媒介変数tによって、x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t(0 <=t <=π)と表される曲線とx軸で囲まれた図形Sを求めよという問題です。解説では、xの値の変化を調べて、 xの増加、減少の変わるtの値t0を求めて、0 <=t <=t0におけるyをy1、 t0 <=t <=πにおけるyをy2として進めると良いとして、場合分けして、面積を計算しています。つまり、S=∮(x=-3から3/2)y2dx-∮(x=1から3/2)y1dx =∮(t=πからπ/3まで)y•dx/dt•dt-∮(t=0からπ/3)y•dx/dt•dt として、計算しています。ここで、質問ですが、 xの増減で範囲を区別して、場合分けせずに、まとめて ∮(x=-3から1)ydx で、全て合わせて計算しても良いのでしょうか？私は、初見で、xの増加と減少の場合分けせずに、まとめて ∮(x=-3から1)ydx で計算したところ、答えは、解答と同じ3πになりました。 xの増減も含めて、xの減少する場合と、xの増加する場合と、場合分けせずに、∮ydxでまとめて計算した方が簡単に計算できるように思いますが、この解き方は、間違えているのでしょうか？あまり媒介変数表示の面積の計算に詳しくないため、正確な知識が解らないため教えて頂けましたら幸いです。よろしくお願い致します。

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年4月23日10:54）

Kay Mai さん、こんにちは。数学の論理上ではダメだと思います。結果が一致するからと言って正しい論理だとは言えません。あなたがｔ、ｘ、ｙに関する増減表を作った目的は何だったんでしょうか？グラフの概形を書くため？でもあなたは結果的にｙ＝０となる時点のことしか考慮せず、ｙをー３から１まで積分しています。増減表に出てくる「ｘが１から3/2の間」をどのように考えたのかなど、理屈を書いてから積分するならいいですが、その理屈は書けますか？このままの答案ではほかの人を納得させることができませんね。ｙをｘで積分するというスタートでは、ｔが０からπ/3までの間のｘの関数ｙとπ/3からπまでのｘの関数ｙは異なります。ですから、 $\int_{-3}^{\frac{3}{2}}ydx-\int_1^{\frac{3}{2}}ydx=\int_{-3}^{\frac{3}{2}}ydx+\int_{\frac{3}{2}}^1ydx=\int_{-3}^{1}ydx$ とは書けません。あくまでも$\int_{-3}^{\frac{3}{2}}y_1 dx-\int_1^{\frac{3}{2}}y_2 dx=\int_{-3}^{\frac{3}{2}}y_1 dx+\int_{\frac{3}{2}}^1y_2 dx$ であり、これをまとめることはできません。まとめられるのは、模範解答のようにｙをｔの関数として書き換えたときに、被積分関数が同じになるから2つの積分がまとめられるのです。よって、入試などであなたの解答では大減点されると思います。１０点中４点くらいかな。答案というものは、論理の飛躍なしに、読む人を納得させるものでなければなりません。これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。がんばってください！

Kay Mai (id: 4069) （2025年4月23日23:32）

貴重なコメントありがとうございました。試験官の立場から読んでも、分かりやすく、論理の通った答案を作成するように、気をつけたいと思いました。質問ですが、y1とy2は、x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t で、同じ式で表されるにもかかわらず、範囲が0 <=t <=π/3ではy1、π/3 <=t <=πではy2と、異なる関数と説明して頂きましたが、異なる関数と言えるのでしょうか？同じ関数だけれど、dx/dt が増加するか、減少するかで、面積を計算する便宜上、分けて計算しているように思いますが、私の理解不足でしたら、すみません。またご教示お願い致します。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年4月24日9:23）

関数に関する質問の回答です。関数というのは「ｘの値を１つ定めると、それに対応したｙの値が1つ決まる関係」のことです。この問題のグラフを見ればわかる通り、ｘが１から3/2の間は、ｘの値に対してｙの値が2つあります。ですからこの間は「ｙはｘの関数」とは言えないのです。ｘが１から3/2の間は上側のグラフを表すような関数ｙ₁と下側にある関数ｙ₂に別けないと、ｘの関数とは言えず、定積分するときも、それぞれの関数を定積分します。たとえば、原点を中心とした半径1の」円を考えましょう。媒介変数表示ではｘ＝cosθ、ｙ＝sinθという式で表せます。ｘ²＋ｙ²＝１は関数ではなく、一般には図形の方程式と言われます。これを関数として積分などしたいときは、上半分の関数ｙ₁＝√(１－ｘ)²　と、下半分の関数ｙ₂＝ー√(１－ｘ)²　に分けて考えますよ。上半分も下半分も媒介変数表示では同じ式ｘ＝cosθ、ｙ＝sinθ　ですが、ｙをｘで積分しようとしたら上と下は別な関数として扱います。これで大丈夫ですか？

Kay Mai (id: 4069) （2025年4月24日12:11）

承知致しました。この場合は、x→一つのy でないため、場合分けが必要なのですね。ようやく理解できました。詳しくご教示頂き、ありがとうございました。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年4月24日12:38）

お役に立ったのならよかったです。またどうぞ。

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