極値をもつ条件

f’(x)の符号が変わるxの値があるというのまではわかります。 でも、それとf’(x)🟰0が異なる２つの実数解を、もつことと同値になることが、よくわかりません。極値を持たない場合も同じところがわかりません、、 よろしくお願いします🙇

百花さん、 確かに、言葉が少し変ですね。 「正から負へ、負から正へ」というのは正しいですが、その時は一瞬f'(x)=0になるのだから、くわしくは「f'(x)が0になり、その前後で符号が変わる」ですよね。f'(x)=0は極値とは同値ではありません。さっきまで話していたように一瞬０になってもその前後で符号が変わらなければ極値にはならないから。ただ、3次関数に関しては、グラフの概形はご存じの通り、(2回）波うちます。よって極値を2つ持つかひとつも持たないかになります。ですので、3次関数の時は、f'(x)=0が2つの実数解を持つ↔f'(x)=0となる点が２つある↔極値を2つ持つ↔極大値と極小値を持つ　という具合に同値になるのです。4次関数ではならないときもあるので要注意ですが。波の打ち方が違いますから。 極値を持たないのは、f'(x)=0が2実数解を持たないときです。１実数解つまり重解を持つときが、前の質問でやっていた「f'(x)が一瞬０になり、前後で符号が変わらない」場合にあたります。この時はｙ＝ｘ³のグラフのようになります。f'(x)=0が実数解を持たない（虚数解をもつ）ときは、f'(x)が０になるときがなく、ずっと増加（あるいはずっと減少）しっぱなしというときで、ｙ＝ｘ³のグラフを上下を持って上下に引っ張ったようなグラフになります。これでは波の打ち方が少なく、山や谷ができず、極値は持てません。 あれ、説明がちょっとずれてきたみたいです。これで大丈夫ですか？ダメかな？