振動することの証明

この問題に限らず”どちらかの数値にしかならない”ということが証明出来たら、振動することの証明になるということでしょうか？”振動することの証明”と調べてみましたが解決しませんでした。。。

北大 受かりたい さん、 教科書で「振動する」の定義を見ましたか？ 数列あるいは級数の極限について、大きく分けて 有限の値に収束する 有限の値に収束しない にわかれ、収束しないものを発散と言いますよ。 さらに発散には ー∞に発散する ＋∞に発散する というのが分類され、それ以外のものを振動するといいますよ。 2つの値を渡り歩く以外にも、３つの値を行き来したり、＋∞とー∞の両方に発散するような振動もあります。 これで大丈夫ですか？

数列の項が $2$ つの値しか取らない場合でも、振動するとは限りません。例えば、漸化式 $a_1 = -1, a_{n+1} = {a_n}^2$ で定義される数列は、項が $-1$ または $1$ ですが、$1$ に収束します。問題集の解答では、$2$ つの値が交互に現れるという性質から、収束する可能性を排除しています。収束する可能性が否定できれば、正や負の無限大に発散しないことは容易に確認できるため、振動すると結論付けられます。