微分最大最小

数研出版オリジナルより出題

(1) a+b=p,ab=qとおくと、p,qはtの２次方程式 t²-pt+q=0…①　の2解 a,bは正だから①について D=p²-4q≧0…②,p>0,q>0が同時に成り立つ a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=2 これより p(p²-3q)=2 ∴q=(p³-2)/(3p)…③ p,qは正だから p³-2>0 ∴p>₃√2…④ また②より p²-{4(p³-2)/(3p)}≧0 (-p³+8)/(3p)≧0 p>0だから -p³+8≧0 p≦2 これと④より ₃√2<p≦2 よって ₃√2<a+b≦2 (2) a²+b²=(a+b)²-2ab=p²-2q これと③より a²+b²=(p³+4)/(3p) ₃√2<p≦2において f(p)=(p³+4)/(3p)とおくと f'(p)=(2/3)・(p³-2)/p² f'(p)=0のとき p>0より p³-2=0 p=₃√2 f(₃√2)=₃√2² ₃√2<p≦2ではf(p)は単調増加 よって f(2)=2より a²+b²の最大値は2 このとき a+b=2,ab=1（③) a=b=1 以上により a=b=1のとき a²+b²の最大値は2