恒等式

見ずらい写真ですみません。 恒等式なのだそうですが、 この式がなぜ成り立つのかが分かりません。この式の過程を教えていただきたいです。 数IIの三角関数で出てきたものです。

なんだ そう さん、こんにちは。 まず、なぜ成り立つのかと言われれば、右辺を通分して計算すれば左辺になる、ということです。 右辺を計算するだけで左辺になりますから、ｋの値には関係なく等式が成り立つわけで、この等式は恒等式です！ 右辺から左辺を導くのは「通分する」と言いますが、左辺から右辺を導くのは「部分分数に分解（展開）する」と言います。 数列や積分で使うテクニックです。 導き方は $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{A}{k}+\dfrac{B}{k+1}$ と部分分数に分解できたとします。A,Bは数です。 このあとはいくつかやり方がありますが、一番基本的には右辺を通分してみます。 右辺＝$\dfrac{A(k+1)+Bk}{k(k+1)}=\dfrac{(A+B)k+A}{k(k+1)}$ これが元の左辺に等しくなってほしいので、$A+B=0,A=1$ を満たすはずなのですね。 これより、A=1,B=-1が得られます。よって $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{-1}{k+1}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ 部分分数分解というテクニックは大事です。全部はとても書ききれないので、説明のサイトを見てください。 部分分数分解で検索すればたくさん出てきます。たとえば https://manabitimes.jp/math/755 https://rikeilabo.com/fractional-sequence あたりはどうでしょうか。 これで大丈夫ですか？前のように、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。再質問があればコメント欄に。