根号の分数の計算

x=2a/(1+a^2) (-1≦a≦1)のとき√(1+x)-√(1-x)/√(1+x)+√(1-x)の値を求めよという問題で、写真の最後の部分まで計算出来たのですが、そこからどう考えればいいのかわかりません。 よろしくお願いします。

遼 さん、こんばんは。 いやぁ、それはあなたが正直者で素直な人だからすぐに代入してしまったのでしょうが、それではあまりに大変です。 問題としても、ただ代入して計算するような単純なものではないですよ。 「直接代入したら大変だなぁ。いやだなぁ！」という感情も大事なんですね。 工夫しましょう。 まず、値を求める式の方ですが、そのような式を見てまずやるべきことはなんでしょう？代入ではないですよ！ わかりますか？ 分母の有理化です！！！ 分母を有理化すると $\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$ になると思います。 だいぶ楽な式になってきました。 その後も、いっぺんに代入なんかしないで、 まずｘ²に代入してaの式にし、次にそこから１－ｘ²を求め、さらに$\sqrt{1-x^2}$ を求め、最後に $1-\sqrt{1-x^2}$ を計算しますよ。 ここまで行ったら、分母のｘもaの式に書き換えてやれば、計算はそれほど大変でもなくなります。 答を全部書いてしまってはあなたの力になりませんので、まずは方針だけを書きました。 この方針でやってみてください。行き詰まってしまったら、そこまでのノートを写真でアップしてください。 うまくいあった場合も報告してね。 お待ちしています。 =============================== 2025/05/27 09:10～ ノート、拝見しました。残念ながら引っかかってしまいましたね。 $\sqrt{A^2}=|A|$ であることを気にしていないと、$\sqrt{1-x^2}$ を間違えてしまうのです。 $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{\dfrac{(a^2-1)^2}{(a^2+1)^2}}=|\dfrac{a^2-1}{a^2+1}|=\dfrac{|a^2-1|}{|a^2+1|}$ ここで、a²-1≦０なので|a²-1|=1-a²としなければいけないのですね。 安易にルートを外してはいけません！というのがこの問題の教訓の一つです。もう一つは、「簡単にしてから代入！」ということでしたね。 これで大丈夫ですか？