『幾何学基礎論』の基本命題

【重大な訂正】 この質問に重大な誤りがありました。というのは、恐らく、順序の公理が一つ足りていませんでした。手元に本としての日本語訳がなく、wikibooksとネット上の原文をaiで翻訳しながら読んでいたのですが、いま英訳を確認したらもう一つ以下の公理がありました…。 直線上の四点A,B,C,Dに対してBをAとCの間、AとDの間にあるように、CをAとDの間、BとDの間にあるようにすることができる。 この公理があれば質問の命題の証明は簡単です。読んでくださった方、考えてくださった方、申し訳ありませんでした。 しかし、英語版Wikipedia等、他の場所にはこの公理はありません。どちらが正しいのかよく分からないので、この質問は取り消させて下さい。 学生ではないのですが、質問させていただきます。以下はヒルベルトの『幾何学基礎論』からの引用です。 【Ⅰ 結合の公理】 我々は三種類の対象を考え、 第一のもの(点)を、A,B,C,…、 第二のもの(直線)を、a,b,c,…、 第三のもの(平面)を、α,β,γ,… で表す。 1：相異なる二点 A、B に対して、A、Bを両方とも通る直線が存在する。 2：相異なる二点を両方とも通る直線は高々一つしか存在しない。 3：一つの直線上には相異なる二点が存在する。 4：一つの平面上には、同一直線上にない三点が存在する。 5： 同一直線上にない三点 A、B、C をすべて通る平面が存在する。 6：平面内の同一直線上にない三点をすべて通る平面は高々一つしか存在しない。 7：直線 a の相異なる二点 A、B がある平面 α 内にあるとき、直線 a のすべての点もその平面 α 内にある。 8：相異なる二つの平面 α、β が点 A を共有するとき、点Aと相異なる点 B をさらに共有する。 9：同一平面内にない相異なる四つの点が存在する。 【Ⅱ 順序の公理】 直線上の点は互いに特定の関係にあり、それを記述するために特に「間にある」という言葉が用いられる。 II 1. A, B, Cが同一直線上の点であり、BがAとCの間にあるならば、BはまたCとAの間にもある。 II 2. AとCが同一直線上の二点であるとき、必ず少なくとも一つの点Bが存在して、BがAとCの間にある。また、必ず少なくとも一つの点Dが存在して、CがAとDの間にある。 II 3. 直線上の任意の三点に対して、常にちょうど1点だけが他の二点の間にある。 直線a上のすべての点が平面α上にもあるとき、直線aは平面α上にあるという。 我々は、直線a上の二点AとBを考える。AとBの二点からなる系を「線分」と呼び、それをABまたはBAと記す。AとBの間にある点を線分ABの点、または線分ABの内部にある点と呼ぶ。AおよびBは線分ABの端点と呼ばれる。直線a上のその他すべての点は、線分ABの外部にある点と呼ばれる。 II 4. A, B, Cが一直線上にない三点であり、直線aが平面ABC内にあって、点A, B, Cのいずれも通らないとする。このとき、もし直線aが線分ABのある点を通るならば、それは必ず線分BCまたは線分ACのある点も通る。 (引用終) ヒルベルトによると、Ⅰ結合の公理とⅡ順序の公理から以下の命題を導出できます。但し、『幾何学基礎論』にはその証明は書かれておらず、どの公理を用いるのかも分かりません。 【命題】 任意の直線上の2点の間には、常に無限に多くの点が存在する。 この命題を図形的直観を用いずに公理と論理だけで証明したいのです。 まず、次の解法が思い浮かびました。 点ＹがXとZの間にあることをbet(X,Y,Z)と表現します。 与えられた二点をA、Bとする。公理Ⅱ2より点Pが存在し、bet(A,P,B)。同様に点Qが存在しbet(A,Q,P)。さらにbet(A,R,Q)なるRが存在し…とこの操作をいくらでも繰り返せるのでAとBの間には無限に多くの点が存在する。 以上で証明できたように思えますが、よく考えると点QがAとBの間にあることは自明ではありません(図形的直観を使えないため)。なのでbet(A,Q,B)を示す必要がありますが、その方法が分かりません。整理すると次の補題が証明できればよいのです。 【補題】 bet(A,P,B)∧bet(A,Q,P)⇒bet(A,Q,B) 順序の公理ⅠとⅢはともに一組の三点グループの内部での操作を可能にしますが、この補題は複数の三点グループの関係を主張しているため、順序の公理ⅠとⅢのみでは証明不可能だと思います。しかしだとしたら証明方法が思い浮かびません。 質問は、【命題】を証明するために【補題】を用いる方針は適切かどうかということと、もし適切ならばどのように【補題】を証明出来るのかです。ヒントだけでも頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

關根 金次郎 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 じゃ、背理法でやってみますね。 仮定：線分ABの内部にある点は有限個である。それをN個とします。 仮定より、内部にある点は整数で番号付けされます。(整数はOK?) ｋ番が割り付けられた内部の点を $P_k$ と表します。 $bet(A,P_i,P_1)$ を満たすかどうか、i=2から順にi=Nまで調べていって（調べて判定するということが明示されていませんが、論理関数betの真偽は分かるはずです）、最初に満たす番号を $k_1$ とします。 $bet(A,P_i,P_{k_1})$ を満たすかどうか、i=2から順にi=Nまで調べていって、最初に満たす番号を $k_2$ とします。 番号は有限で最大Nですから、この操作を繰り返すとどこかで $bet(A,P_{k_{n+1}},P_{k_n})$ を満たすn+1が存在しなくなります。 これは公理II2に反します。 背理法により、仮定がひていされ、線分ABの内部にある点は無限個である これでどうでしょうか？ どうぞ、突っ込んでください！