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数学的帰納法3
また、赤で直したところについてです。
不等号に=がついていなかったのですが、それでも、①が成り立つと言っていいんですか??
(①というのは問題文を指しています)
回答
1枚目の写真
・(II)n≧4とする は、おかしいです。「k≧4とする」ですね。
・その下の下 n=k+1のとき も、おかしいです。「このとき」と書いて次の式に続ければいいです。
n=k+1の時になっているのは、(II)の結論ですから。
・「k≧4よりk²-2k-1>0(≧でもいいですが)」のところはその理由の説明が必要です。けっこうキモになるところですから。
・最後の結論を書くときに「(I)(II)より数学的帰納法により、4以上の……成り立つことが証明された」と書きたいところです。
2枚目の写真
・1行目 n≧4 ではなく k≧4 です。
・4行目は不要。かわりに「その両辺に2をかける」と書きます。
・等号はなしで大丈夫。>か=のどちらかが成り立てばいいのですから。
両方の証明(II)も筋道は大丈夫ですよ。数学的帰納法、わかってきました?使えそうですか?
証明の書き方はいろいろあるし、絶対にこうでなきゃいけないというものではありません。論理的に正しければいいです。
これで大丈夫ですか?
ちょっとわかってきました✌️ありがとうございます!
(II)n≧4とする は、おかしいです。「k≧4とする →ほんとですね、、、なんとなくで書いていました💦 n=kのとき成り立つと仮定すると、 2^k +1と(k+1)^2の差が0より大きくなるから 2^k+1>(k+1)^2を示せてるので、 n=k+1のとき成り立つって言えるという順番ですね💦 ・「k≧4よりk²-2k-1>0(≧でもいいですが)」のところはその理由の説明が必要です。けっこうキモになるところですから。 →k²-2k-1を平方完成すればいいですか?? (k-1)^2-2>0 ↑これで説明したことになりますか??😯 計算をした結果n=k+1のとき成り立つとわかるのだから、初めに書くのは変で、書いてはいけないんですね! 自分でも違和感があったのですっきりしました。ありがとうございます!
「↑これで説明したことになりますか??😯」→説明した気になれてますか?最後にー2なんかがあるので見たままでは説明にはなっておらず、よく考えれば確かにそうだ、というくらいでしょうか。 k²-2k-1=(k-1)²-2≧(4-1)²-2=7>0と示した方がベターです。 でもあまり自明ではないですね。 あるいはk²-2k-1=(kー4)²+6k-17≧6k-17≧6・4-17=7>0などでもいいかなぁ。 (kー4)²≧0なので、それを除くとさらに小さくなり、一番小さい4を代入すればもっと小さくなるということです。 k(k-4)+2k-1≧2k-1≧2・4-1=7>0でも。k(k-4)はk≧4のとき0以上なので取り去ればもっと小さく、4の時はもっと小さくなり…というわけです。あんがいめんどうでした。これで大丈夫ですか?
解答にはその部分はないのですか?
解答には(k-1)^2-2>0としか書いてなかったです💦
そうですよね、、 説明に− 2なんかあったらほんとに>0か?という感じですよね。 k≧4ということはわかっているんだから、1番小さい4を代入したときに0より大きいということをちゃんと書けばいいんですね!ありがとうございます!
あるいは、2次関数のグラフの略図を示してもいけますね。軸、頂点、x=4でy=7を書き込んでおけば一目瞭然でしょう。