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三角関数 不等式
写真の問題（3）についてです。
何故与式がそれぞれ0以上である事が分かるのでしょうか？
付属の解説では解き方を理解する事が出来ませんでした。
解説お願いいたします。
【写真】
1枚目→問題
2枚目→解説
（追記: 2025年6月22日21:54）
解けました‼︎
写真追加してあります。
今回もご丁寧に教えて下さりありがとうございました。
回答
ひなたさん、こんにちは。
問題の不等式の左辺と中辺から、移項すれば①ができますし、中辺と右辺から、移項すれば②が得られますよ。
これで大丈夫ですか？
============
追記
コメント拝見。
なぜわかるのか、ではなく、与えられた不等式から出てきてしまうのです。
$-\sin\theta<\cos \theta$ で、$-\sin\theta$ を移項したら
$0<\sin\theta+\cos\theta$ が出てくるし、
$\cos\theta<\sin\theta$ で、$\cos\theta$ を移項すれば
$0<\sin\theta-\cos\theta$ が出てきますよ。
だから、与えられた不等式が成り立っているときには、その②つの条件が満たされているということがわかったというのです。
これでどうでしょうか￥・
（追記: 2025年6月22日9:27）
では、解説を書きますね。
①→$\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)>0$
まではいいのですね。ここから
$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)>0$
となります。
$\theta+\dfrac{\pi}{4}=x$ と置き換えた方が考えやすいです。
すると$\sin x> 0$ ただし $\dfrac{\pi}{4}\leqq x < \dfrac{9\pi}{4}$
という不等式を解くことになります。
普通ならこの解は $0 \leqq x < \pi$ なのですが、
ｘの変域が上のように定まっていますから、この不等式の解は
$\dfrac{\pi}{4}\leqq x<\pi,2\pi < x <\dfrac{9\pi}{4}$
です。ｘはθ＋π/4なので、この解をθにすると
$\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{4} <\pi,2\pi < \theta+\dfrac{\pi}{4} <\dfrac{9\pi}{4}$
これより
$0\leqq\theta <\dfrac{3}{4}\pi,\dfrac{7}{4}\pi < 2\pi$
が得られます！
②の方は同じように考えてできますので、まず自分でやってみてください。行き詰まったらまたコメントで聞いてください。あなたのノートも見せてくれるとアドバイスが的確にできて楽なのですが。
これで大丈夫ですか？
回答ありがとうございます。 移行して式が得られるのは分かるのですが、何故その式が （式）>0 であると分かるのでしょうか？
上の回答に追記しました。読んでください。
返信遅くなりすみません。 追記ありがとうございます。 与式が➀、➁になる理由は納得できました。 その後合成まではわかったのですが、そこから得られる範囲が合わず、 何故範囲の値が解のようになるのかも解説して頂けたら嬉しいです。 何卒お願いいたします。
追記しました。読んでください。
追記のお陰で解く事が出来ました。 ありがとうございます。
ノートの写真、見ました。それで大丈夫です！ 気になったのは最後の最後、数直線上で重なるところを見つけるのに、図は１つにまとめて書くべきです。この問題では２つにしてもうまくいきましたが、問題によってはもっと違うところが重なる場合も考えられますのでね。
的確なアドバイスをありがとうございます。 今後はそのように注意して書く事を心掛けたいと思います！
ぜひそうしてください。またどうぞ！