ベクトルと軌跡

こんにちは。 すみません、わかりにくい質問が複数あります。 解説の真ん中あたりの　m=b+c/2の変換　を、私は思いつけなかったのですが、ベクトルの問題で図形の形状や点の位置を求める問題で、 解説でいう①のような式で行き詰った際は、次の段階としてどのような解き方を頭に入れておけばよいですか? この問題の場合はm=b+c/2の変換して定点をごり押しで探すってことですよね？それはなんで思いつけるのでしょうか。（うーん、この式を見てそのヒントがあるのか。。。） わかりにくい質問でほんとにすみません。

か な さん、こんばんは。 あなたの疑問はよく分かりますよ。Mは唐突ですよね。 これとは別の問題ですが、点Pの位置を求めよ見たいな問題で、あれこれやっていったら $\overrightarrow{p}=\dfrac{2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{8}$ みたいな式になって、これを $\overrightarrow{p}=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{5}$ のように分母を２＋３＝５にしてあげれば、 $ \dfrac{2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{5}$ は線分ABを３：２に内分する点Qを表わし、PはOQを5：(8-5)に内分する点である と結論付けるような問題ってやってないですか？ （やっていないなら類題を示しましょうか？） 要点は$\dfrac{2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{8}$　を $\dfrac{2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{3+2}$ にしてあげれば内分点の公式に乗せられるっていうやつですが。　 このような変形に慣れていると、$\overrightarrow{m}$ を経由しなくても $\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$ として、$\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$ はBCの中点Mを表すベクトルで、PはAMを２：１に内分する点(重心)であることは導けます。 模範解答の答案ではBCの中点Mは天下り式にでてきて、なぜそれを思いつくのかは疑問に思われますよね。 実は解答を書いた人は上のような変形の手を知っていて、そのあたりをすっ飛ばし、天下り式にMを持ち出したのでしょう。 あまりよくないですね。 ぜひ、上に書いたような変形の手続きを身につけておきましょう。 ただし、三角形の重心の公式 $\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$ をしっていれば、そのまま $\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$ を $\dfrac{\overrightarrow{0}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}= \dfrac{\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$ とみて、三角形の重心を見抜くこともできますよ。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。