不等式の証明

演習で出された問題です。 いろいろ試したのですが、解き方の見通しが立ちません。方針を教えていただきたいです

忠さん、 コーシー・シュワルツの不等式はご存じですか？ 大学入試では、この不等式が使える問題はよく出題されます。 コーシー・シュワルツの不等式を知らないようでしたら、ネットなどで探してください。 たとえば　https://manabitimes.jp/math/573#2　など。 私は問題の式を見て、コーシー・シュワルツの不等式が使えるかもと思ったので、工夫したら当てはめることができ、一発で「よってコーシー・シュワルツの不等式より成り立つ」で終わってしまいました。 コーシー・シュワルツの不等式の $a_i$ を $\dfrac{x_i}{\sqrt{y_i}}$ 、$b_i$ を $\sqrt{y_i}$ として、コーシー・シュワルツの不等式を作ってみます。 そして、その左辺に出てきた $y_1+y_2+\cdots +y_n(>0)$ で両辺を割れば終わりです。 ただ、演習問題として何を狙った問題なのかわからないので、こんな解法を教えてしまっていいものか迷っています。コーシー・シュワルツの不等式の練習問題ならいいのですが（笑）。後日の講義では、もっと標準的な解法が示されるのではないでしょうか。私は思いつかないのですが…。 とりあえずウルトラ裏技です。コーシー・シュワルツの不等式できれいに証明できたり、最小値を求められたりする問題は時々見かけます。興味があれば探してきてもいいですが… これでごかんべんを。コメント欄になにか返事を書いてください。