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三角関数
⑵のcosθについての質問で、答えは５分の３なんですけど、青枠で囲った部分のやり方だと±がついてしまうんですが、どうして青枠のやり方だとダメなのか教えて欲しいです。
【追記】
$ \tan \frac { \theta } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $ のとき
$0 \leq \frac { \theta } { 2 } < \frac { \pi } { 4 } $ または $\pi \leq \frac { \theta } { 2 } < \frac { 5 } { 4 } \pi $
ゆえに
$0 \leq \theta < \frac { \pi } { 2 } $ または $2 \pi \leq \theta < \frac { 5 } { 2 } \pi $
だから結局 cosθ > 0 って考えてもいいんですかね
回答
θについて、範囲は指定されていますか？
θ/2のタンジェントが１未満で正ですから、θ/2はπ/4より小さいことが分かります。よってθはπ/2より小さい。だからコサインは負を捨てて正の方を採用する。
±が出たときは、両方とも適するのかどうか、状況から判断しなければなりません。
これで大丈夫ですか？
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追記
ちゃんとやるなら
$0\leqq \theta <2\pi$ としても一般性は失われない。
このとき $0\leqq \dfrac{\theta}{2}<\pi$ で
$0<\tan\dfrac{\theta}{2} <1$ より $0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}$
よって $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$
このとき $\cos \theta >0$ だから…
と書きますね。
θの範囲指定されてないんですよね。やっぱりそういう風に判断するしかないですよね
追記しました。
なるほど。 $ \tan \frac { \theta } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $ のとき $0 \leq \frac { \theta } { 2 } < \frac { \pi } { 4 } $ または $\pi \leq \frac { \theta } { 2 } < \frac { 5 } { 4 } \pi $ ゆえに $0 \leq \theta < \frac { \pi } { 2 } $ または $2 \pi \leq \theta < \frac { 5 } { 2 } \pi $ だから結局 cosθ > 0 って考えてもいいんですかね
あ、コメント欄じゃ反映されないのか、質問の方についきしてみます
質問の追記、拝見。 はい、まぁ、そういうことですが、あなたの書き方だとθの範囲がよくわからないですね。その文面だけからではθは０から４πになっていますか。範囲なしなら、もっと４πからとか―２πからとか、あるいは±２ｎπを使わないと、ちょっと片手落ちです。数学的には。
たしかに。 ありがとうございます疑問は解消できました。
それならよかったです。