証明のおまけ

問題から図を書いて同じ大きさの正三角形が3つできることと面積が正三角形1つと等しい三角形が2つできることはわかりました。 その面積を①としたときに四角形DBCEは面積が③となることはわかりました。 ですが三角形BFCの面積がわかりません。高さを求めることもできず、文字で置いて解いてみても面積がでてきませんでした。 求め方を教えてください。お願いします。

かえでさん、おまけって？？？ Fが⊿ABCの重心になっていることは分かりますか？ あ、重心って中学ではやらないか？ 重心だということが分かると⊿FBCの高さは正三角形の高さの1/3であることが分かり、その面積は①/3になるのです。よってこたえは1/9。 ⊿FBCは四角形DBCEより小さいんだから4倍はないよね。 さて、重心はわかる？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　20205/10/19 そうか、重心はやってないのですね。じゃ、別な方向から… 最後の写真の下にある、あなたの手書きの図でいきます！ ABCDEFは図に付けます。さらに、ABとCDの交点をG、ACとBEの交点をHとしますよ。四角形DBCAはひし形だから、対角線は中点で交わり、GはABの中点であることが分かります。同様にして、HはACの中点です。 中点連結定理（これは大丈夫ですよね？）よりGH//BC、BC=2GH。 ここで△GFH∽△BFCより、相似比は１：２。つまりGF:FCもHF:FBも１：２。 AFを延長してBCと交わる点をJとすると、 △ABCは正三角形なので、その対称性からJF:FAも１：２になります。しかもAJは△ABCの高さ、FJは△FBCの高さで、△ABCの高さ：△FBCの高さ＝３：１。その2つの三角形の底辺は同じだから、面積の比は３：１。 つまり△FBCの面積は①の1/3になります。 四角形DBCEは①の3倍なので、四角形DBCEは△FBCの9倍。△FBCは四角形DBCEの1/9倍。 高校ではもっときちんとした証明をしますが、今は１：２だけが欲しかったので省略した書き方です。 この点Fを⊿ABCの重心と言います。重さの中心点です。 「三角形の3本の中線は1点で交わり、その点は中線を１：２に分ける。その交点を重心という」というのが重心の定理です。 これで大丈夫ですか？ これで「おまけ」はいいかな？もうすぐせんせいの解説は聞けるんですよね。