置換積分方

t/(t+1)^2={1/t+1-1/(t+1)^2}の変形ってどうやって思いつくんですか?

わんこさん、こんにちは。 部分分数分解ですよ。 部分分数分解はわかりますか？ 分母に２乗の因数があるときの分解の仕方は、たとえば $\dfrac{f(x)}{(x+1)(x+2)(x+3)^2}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{x+3}+\dfrac{D}{(x+3)^2}$ （f(x)は分母の次数より小さい次数の多項式、A,B,C,Dは実定数） というふうに分解すると、分子はどれも実数の定数として定めることができます。 定め方は普通の部分分数分解のときと同じです。分母をはらって適当な数を何個か代入するっていうやつです。 その問題では、 $\dfrac{t}{(t+1)^2}=\dfrac{A}{t+1}+\dfrac{B}{(t+1)^2}$ とおいて、A,Bを求めると、A=1、B=-1が求まります。 もし分母に３乗の因数があれば、たとえば $$\int \dfrac{x^2+x+1}{x^3+3x^2+3x+1} dx$$ だったら $\dfrac{x^2+x+1}{(x+1)^3}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}+\dfrac{C}{(x+1)^3}$ としてA,B,Cを求めれば部分分数分解完成で、積分が容易にできる形になります。 これで大丈夫ですか？部分分数分解のやりかたに不安があるようならさらに聞いてください。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記： この問題では分子に無理やりｔ＋１を作ってやれば、特に部分分数分解を使わなくても行けますね。 $\dfrac{t}{(t+1)^2}=\dfrac{(t+1)-1}{(t+1)^2}=\dfrac{t+1}{(t+1)^2}-\dfrac{1}{(t+1)^2}=\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{(t+1)^2}$ これでどうですか？