確率の問題

Yuko (id: 2727) （2025年12月28日14:23）

xy平面上の16個の点の集合｛（x、y）|x＝0、1、2、3 y＝0、1、2、3｝を考える。この集合から異なる３点を無作為に選ぶ思考において、事象「選んだ３点が三角形の頂点となり、その三角形の面積は9/2である」の起こる確率を求めよ。上記の問題について、3×3の正方形の一辺を底辺として、他方の辺上の格子点を頂点とする三角形の面積が9/2であることはわかったのですが、面積が9/2になる三角形はそのパターン以外に本当にないのかがわかりません。教えてください

回答

Keita (id: 4436) （2025年12月28日15:47）

三角形の面積は、底辺と高さを用いて「面積 $= \dfrac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$」で表されます。面積が $\dfrac{9}{2}$ であるためには、底辺と高さの積が $9$ になる必要があります。この格子において取りうる底辺や高さの大きさを考えると、最大でも $3$ までしかありません。底辺が水平または垂直で、頂点も格子点である場合、高さは必ず整数になります。したがって、 $\text{底辺} \times \text{高さ} = 9$ を満たす整数の組としては、$1 \times 9$、$3 \times 3$、$9 \times 1$ が考えられますが、この中で実際に実現可能なのは $3 \times 3$ の場合だけです。底辺の長さが $3$ になるのは、$x=0$ と $x=3$ を結ぶ水平な線分、または $y=0$ と $y=3$ を結ぶ垂直な線分に限られます。このような底辺に対して高さを $3$ にするためには、底辺と平行で、距離が $3$ 離れた反対側の辺上にある格子点を頂点として選ぶ必要があります。たとえば、$y=0$ 上の $(0,0)$ と $(3,0)$ を底辺とした場合、$y=3$ 上の格子点を頂点に取ると、面積は $\dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 = \dfrac{9}{2}$ になります。一方、底辺を斜めの線分に取る場合も考えられますが、格子点同士を結ぶ斜めの線分の長さは $\sqrt{2}$ や $\sqrt{5}$ などになり、それに対応する高さも平方根を含む値になります。その結果、底辺と高さの積がちょうど $9$ になることはなく、面積が $\dfrac{9}{2}$ になる三角形は作れません。これは、この格子において面積 $\dfrac{9}{2}$ を実現できるのが、$3 \times 3$ の正方形を基準とした配置だけであることと一致しています。以上から、面積が $\dfrac{9}{2}$ となる三角形は、$3 \times 3$ の正方形の一辺を底辺とし、反対側の辺上の格子点を頂点とする場合に限られ、他の形は存在しません。したがって、Yukoさんが見つけたパターン以外に別のものは「存在しない」となります。

Yuko (id: 2727) （2025年12月28日15:58）

ご回答ありがとうございます。 “ √2 や √5 などになり、それに対応する高さも平方根を含む値になります。その結果、底辺と高さの積がちょうど 9 になることはなく、面積が 9/2 になる三角形は作れません。”とありますが、ここがなぜそうなるのかがわかりません。もしわかったら、教えていただけるとありがたいです。

Keita (id: 4436) （2025年12月28日18:15）

ぜひくさぼうぼうさんを参考に(⁠・⁠∀⁠・⁠)

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年12月28日16:10）

Yuko さん、こんにちは。お久しぶりですね。 (間違えた説明を書いてしまったので削除しました。書き直します。前のを読まれていたら恥ずかしいです！）たしかに、他にはないということを確かめないとモヤモヤしますね。上のKeitaさんの説明では、ルートが消えないような印象ですが、どんな風に3点をとっても、」面積は無理数にはなりません。（正方形）ー（いくつかの直角三角形）で求まりますから。斜めの線ばかりでも面積が３とか４とかは作れます。格子点間の距離は整数の１，２，３と無理数の $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10},2\sqrt{2},\sqrt{13},3\sqrt{2}$ があります。問題は無理数の長さを辺に持つ三角形が9/2になれるかどうかです。 $\sqrt{2}$ を１辺として持つ三角形で高さが最も長いのは$\sqrt{2}$ を底辺とした2等辺三角形で、たとえば(0,1)(1,0)(3,3)ですが、面積は３で、9/2より小さいので、$\sqrt{2}$ を１辺として持つ三角形では無理。 $\sqrt{5}$ を１辺として持つ三角形で高さが最も長いのは$\sqrt{5}$ を底辺とした2等辺三角形で、たとえば(0,2)(2,0)(3,3)ですが、面積は４で、9/2より小さいので、$\sqrt{5}$ を１辺として持つ三角形では無理。以下同様に、無理数の長さの辺を持つ三角形で、しかも「あなたが見つけた三角形以外のもの」では、高さを最大にしたときでも9/2より小さくなってしまいます。よって、1辺の長さが３で高さが３の三角形しか存在できないようです。あなたがやっている問題は解答が付いていないのですか？ついていてもそのあたりについての記述がないのでしょうか？「それ以外にはない」という記述を求められているようなのでしょうか？

Yuko (id: 2727) （2025年12月28日16:19）

ありがとうございます。ちなみに、この問題の答えは3/140(12/16C3)なので、私が一番最初に行った三角形のパターンのみ面積が9/2になると思うのですが、今はそのパターン以外の三角形の面積が9/2にならないことが証明できない状態です。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年12月28日16:55）

上の説明でも「以下同様に」ではなく全部書けば証明になります。これではスッキリしないのですね。もっとスパッとした証明が欲しいのですね。考えてはみますが。

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年12月28日17:34）

格子点とは関係なく証明ができるみたいです。３×３の正方形内に、２辺が正方形の辺と一致した三角形の面積は9/2。ここで直角以外の頂点を辺上で動かしても面積は不変（等積変形）。でも直角の頂点を辺上で移動すると、底辺をもとの斜辺と見たときの高さは減少するので面積も減少する。また、各頂点を辺上ではなく内部方向に移動すればいずれも高さが減少し、面積も減少する。よって正方形に内接する三角形の面積の最大値は9/2。この最大値は1辺が正方形の1辺と一致し、他の頂点がその対辺上にあるときに実現する。それ以外では上に述べたように面積は減少する。よって面積が（最大値である）9/2になるのは1辺が正方形の1辺と一致し、他の頂点がその対辺上にあるような三角形に限る。頂点が格子点に限られるならそのような三角形は１２個である。こんなんで納得できる？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年12月28日17:38）

格子点とは関係なく証明ができるみたいです。３×３の正方形内にある、２辺が正方形の辺と一致した三角形の面積は9/2。ここで直角以外の頂点を辺上で動かしても面積は不変（等積変形）または減少。また直角の頂点を辺上で移動すると、もとの斜辺を底辺と見たときの高さは減少するので面積も減少する。また、各頂点を辺上ではなく内部方向に移動すればいずれも高さが減少し、面積も減少する。よって正方形に内接する三角形の面積の最大値は9/2。この最大値は1辺が正方形の1辺と一致し、他の頂点がその対辺上にあるときに実現する。それ以外では上に述べたように面積は減少する。よって面積が（最大値である）9/2になるのは1辺が正方形の1辺と一致し、他の頂点がその対辺上にあるような三角形に限る。頂点が格子点に限られるならそのような三角形は１２個である。（前のコメントは取り消し！！）こんなんで納得できる？

Yuko (id: 2727) （2025年12月28日19:41）

なんとなく理解できましたが、実際にこの問題が試験で出た時に自分一人でここまで辿り着くのは大変そうですね。証明ありがとうございます。またお願いします！

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年12月28日19:59）

どういたしまして。解答にはどう書いてあるのですか？

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