循環小数の分数化

こんにちは！ 数学IAの循環小数を分数に変える問題で、添付画像の問題(3)の花子の発言が成り立つ理由の解説をいただきたいです。 問題(3)(ii)がこの考え方を利用する問題なのですが、機械的に法則を当てはめれば解けるものの、なぜそうなるのかが分かっていません…。 よろしくお願いします🙇

Maru Masa さん、こんばんは。 ①２÷１３をしたら、まず２０÷１３で１が立って余りが７。 ②このあと、７÷１３をしますが、０を下ろしてきて(１０倍することになります）７０にして、７０÷１３をしました。 ここで５が立って、それ以降割り算を続けて５３８４６…という商が出てきますよ。 ここで割り算①はなかったものとして（考えないで）、②の７÷１３から見始めれば、もともとの２÷１３の時の商の２番目の５から始まって５３８４６１…と出てきますね。だって以下の割り算は２÷１３の経過と同じだから。これは「０．５３８４６１…は７÷１３で得られたんだ！」と見ることができますね！だから $0.\dot{5}3846\dot{1}=\dfrac{7}{13}$ となります。 その次も同様で、 ③５÷１３をするとき、０を下ろして（１０倍して）１３で割り、商が３が立ちます。 ここで①②はなかったものと無視してやると、５÷１３を計算すると３８４６１５…という商が出てくることが分かります（分かりますか？） だから０．３８４６１５…という小数は５÷１３で出てくるんだ！と分かりますよ。 よって $0.\dot{3}8461\dot{5}=\dfrac{5}{13}$ となります。 これで大丈夫ですか？よく考えてください。割り算の途中からの計算で、桁をずらした小数が出てくることを。 コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。