数学A-順列

新課程青チャート数学I+A、EXERCISES13について質問させていただきます。 問題文は画像の通りですのでご覧いただきたいです。 模範解答を読んだ上で、一般化してみようと思い、以下の手順で一般化を試みました。 「目標：$n$色ちょうどで塗り分ける場合の数をnの式で表す。 →（$n$色以下で塗り分ける場合の数）-（$(n-1)$色以下で塗り分ける場合の数）を計算する。 →$n$色以下で塗り分ける場合の数は ①は$n$通り、 ②は①と被らないように$(n-1)$通り、 ③は①と②と被らないように$(n-2)$通り、 ④は③と被らないように$(n-1)$通り、 ⑤は②と③と被らないように$(n-2)$通り、 ⑥は②と⑤と被らないように$(n-2)$通り、で 合計$n(n-1)^2(n-2)^3$通りとなる。 →この式に$(n-1)$を代入したものを、元の式から引く。 →場合の数は$(n-1)(n-2)^2(6n^2-25n+27)$通り」 試しに$n=6$を代入するも、場合の数は$6!$通りとなるはずが、大きく結果が異なってしまいました。 一般化の手順にミスがあればご指摘を賜りたいです。どなたか、よろしくお願いします。

Arcanum Aemilia さん、こんにちは。お久しぶりですね！！ （まえの回答は間違っていたので消しました。もしすでに読んでいたとしたらゴメンナサイ） 「→この式に(n−1)を代入したものを、元の式から引く。」が間違いです。 ｎ色のうちのどれを抜いた(n-1)色で考えたのかを考慮していませんね。 かといって「この式に(n−1)を代入したもののｎ倍を、元の式から引く」では引きすぎます。 たとえば赤を抜いた(n-1)色を考える時も、その前の(n-2)色ではどれを抜いたかも考慮しなくてはならず、… だんだん少なくなってきて赤白青黄の4色以下の塗り方って、赤白青黄黒を考えている時も数えるし赤白青黄茶で考えている時も数えるし、何回もダブって数えています。 どうしたらいいかはまだ未解決ですが、「→この式に(n−1)を代入したものを、元の式から引く。」というほど単純ではないですね。 回答になっていなくてスミマセン。