積分

写真の問題（3）についてです。 ∮の連結を考えて解いたら＝0になってしまったのですが、解答を見たところ 範囲が「α≦x≦β」の所は理解出来るのですが、 「x≧α」と「β≦x」の式が何故そのようになるのかがわかりませんでした。 解説お願い致します。 【写真】 I枚目→問題 2枚目→解答 3枚目→自身のノート

ひなたさん、こんにちは。回答が遅れてゴメン。 書き直しました（2026/01/16　09:50） 模範解答の（３）の冒頭が変ですね。 問題文でｘ≧αと制限がついているので、（３）で改めてそんなことを書く必要はないですよね。 それをわざわざ書いているので、「ｘ≧α」が場合分けの1つみたいに誤解したのでは？ あなたが質問で書いている「「x≧α」と「β≦x」の式」というとらえ方はおかしいのです。 気持ちとしては「ｘ≧αは大前提」「場合分けは(i)α≦ｘ≦βの場合(ii)α≦β≦ｘの場合」です。 ただ問題文にα＜βとありますから、α≦β≦ｘと書く必要はないので「β≦ｘの場合」となっています。 模範解答の（３）の3行目は単に問題の関数をそのまま書いてみただけです。これもなくていいですね。 読み込まねばならないのはこのあとです。 大事なのは、もともとの範囲である「ｘ≧α」という範囲を2つに別けたことです。 そのｘがβより小さい場合と大きい場合では、絶対値を外したときの被積分関数が異なります。 場合その１）α≦ｘ≦βのときは絶対値を外すとマイナスが出てきて、全体は（３）の7行目まで簡単にできました。 場合その２）もう一つの場合分けとしてｘがβを超えたβ≦ｘの範囲で調べています。 この解答のやりかたは、H(x)の前半の定積分での被積分関数がβの前後で異なるので、 （H(X)=の式）積分をαからβまでとβからｘまでに分けました。H(x)の後半は絶対値は付いていないので被積分関数はかわらず、そのままαからｘまでの定積分でいいです。 それ以降の変形は読んで納得できますか？ あなたの答案の場合分けの条件がおかしいです。 絶対値が付いた式の正負ではないです。 絶対値が付かない（ｔ－α)(ｔ－β）の正負でわけるのなら分かります。 （ｔ－α)(ｔ－β）≧０とｔ≦α、β≦ｔとは同じことで、さらにｔはαからｘまで変化しますので、その終点のｔ＝ｘがこの範囲にあるかどうかで1つの場合になります。つまりｘ≦α、β≦ｘの場合です。もっともｘ≦αは問題文でないことが分かっていますので、「β≦ｘの場合」になります。 同様に（ｔ－α)(ｔ－β）≦０とα≦ｔ≦βは同じことです。ｔでの積分の終点であるｔ＝ｘがこの範囲にある場合がもう一つの場合分けです。 最後の行とその前の行はどういう考えで作った式なのかよくわかりません。 aからｘまでの積分とｘからaまでの積分はおかしいです。 もう一度、場合分けとその時の被積分関数を慎重に考えてみて。 α≦ｘ≦βの場合では前半の積分の絶対値をとってマイナスにするだけで計算が進められます。 β≦ｘの場合はｔがαからβまでの積分とｔがβからｘまでの積分とに別けなければならないですね。 ｔがαからβまでの積分は前半の積分の絶対値をとってマイナスにして、ｔがβからｘまでの積分は単に絶対値を外しただけで計算です。 これで大丈夫ですか？ 今時間がないのであとで私のおすすめを書きます。