極大値と極小値を持つことの証明がどこでできるのか？

まかろん (id: 4393) （2026年2月23日20:37）

この問題の（１）では、増減票を書いてf'(x)=0 を満たすｘが２つあり、その前後で符号が変わっている、ということで証明できているのでしょうか？？最近質問が多くてすみません。。。

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回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年2月23日21:28）

まかろんさん、こんばんは。「質問が多くてすみません」なんてことは不要ですよ！ここは質問をする場所なのですから、必要な時に必要なだけ胸を張って（？！）利用してください！増減表は極値が存在することの重要な証拠です。増減表が正しく書けていれば、そこから極値の存在は示せたことになります。増加から減少に転ずるところが極大、減少から増加に転ずるところが極小と定義されていますから。あ、その点で連続であることが必要です。その点の微分係数は０でなく存在しなくても大丈夫です。たとえばグラフがとがっているような場合も極値と言います。たとえば $f(x)=\sqrt{|x|}$ はｘ＝０で微分係数f'(0)は存在しませんが、減少から増加に転じますので、ｘ＝０で極小値０をとると言います。ただ、その答案（模範解答でしょうか？）の増減表についてはちょっと疑問が残ります。 $-t+\sqrt{t^2+1}$ と $\dfrac{1}{t}$ の大小について論じていないのが気になります。また、f'(x)の分子が０ではないことを述べていますが、これは何が言いたいのかなぁ。 f'(x)はそこでは存在しないし、たとえ0/0になってf'(x)の極限値が存在してもf(x)自体が存在しないので極値にはなりえないけどなぁ。これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてください。

まかろん (id: 4393) （2026年2月24日6:33）

お返事ありがとうございます。今回の問題の場合は、f'(x)=0を満たすｘ２つ、そしてその前後で符号が変わっていることさえ増減表でかけていたら、ＯＫということでしょうか？（あと、今回の関数の連続でないところと極値をとるよころは違う点だということも）また、今回の関数で±∞にいくときのlimを考えるところがわからないのですが、別にそこを出さなくても正解ですか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年2月24日8:24）

はい、そういうことです。ただし不連続であるところは関数値もないので、極値になることは絶対にありませんよ。なので、カッコの中は言わずもがなです。 x→±∞のときのことですが、どちらも単調に増加するので、この問題では考えなくてもいいと思います。グラフの概形が必要になったときは考えますが、大事なのはf'(x)ではなくf(x)の極限値です！f'(x)が0に限りなく近づくからといってf(x)の値がどうなるかはわかりません。ちゃんとf(x)の極限値を調べ、それが-0や+0になることからグラフがx軸に漸近するようなグラフであることがわかり、問題によっては、重要になることもあります。これでどうですか？

まかろん (id: 4393) （2026年2月24日17:18）

f(x)の極値というのは、ｘがとらない値の近くでどうなるか、ということですか？今回は調べていませんが、、もしそうなら、どう調べるのでしょうか？明日が試験で、焦ってしまってはてなばっかりですみません(´；ω；`)

くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年2月24日18:04）

f(x)の極値ではないですよ。ｘ→±∞のときの極限値ですよ！この問題では調べる必要はないです。分母が２次で分子が１次でｔ＞０だからｘ→＋∞のときf(x)→ー０、ｘ→ー∞のときf(x)→＋０となり、ｘ軸に漸近します。明日の試験、がんばってくださいね！！！入試本番の当日っていうこと？それとも学年末試験？

まかろん (id: 4393) （2026年2月24日18:49）

分母と分子の次数で考えればいいのですね、抜けていましたすみません、もしよろしければ数個前の質問の「間違っている点を教えてください！」のコメントも見ていただけると嬉しいです。入試です🥺

くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年2月24日19:04）

入試、がんばって下さいね😊😊😊 5の倍数のとこですね。コメント書きました。

まかろん (id: 4393) （2026年2月24日19:36）

がんばります！ありがとうございます。

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