全ての整数の約数となる数

初めまして。 算数はかなり苦手で、大人になった今でも時々頭を悩ませております。 ふしぶしで厳密でない言い方をしてしまうかもしれませんが、ご容赦いただきたいです。 さて、ご質問したいのは 全ての整数の約数である。 そんな整数が存在するか？ ということです。 ＊今の考え＊ 単純に1はどうだろうか考えました。 整数……正の数、0、負の数 約数……その数を割り切ることのできる整数 いまこの認識でいます。 正の数はどんな数でも1は約数ですよね。 負の数も1で割り切れると言えそう。 0はどうなんでしょう、0をどんな数で割っても0ですから、割り切れていると言って良さそう？ じゃあ、どんな整数も、0の約数なんでしょうか？ ＊疑問点＊ ①1は全ての整数の約数なんでしょうか？ ②どんな整数でも、0の約数なんでしょうか？ ③本題ではないのですが よく約数といえば正の整数のイメージがありますが (たとえば4の約数は1.2.4と思います) 負の数も約数なんでしょうか？(-1.-2.-4) 整数であって、割り切れていますよね。

みやのん さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 算数・数学は考えることが楽しいので、ぜひ楽しんでくださいね。 （A)約数・倍数というのは、普通は（！）自然数の世界でのコトバです。ですが、数学は「これから自分はこの範囲の数の世界で議論しますよ」と宣言すれば、約数・倍数も「０を含めた負でない整数の世界で考えます」でも「負の整数も含めた整数の世界で考えます」でも議論は可能ですが、結果が微妙に異なったりもしますので、今から考える数学・算数はどの範囲の数で考えるのかをしっかり決めておく必要があります。（ま、実際には、どの世界で議論すべきかがほぼ定まっていますのでいちいち断ることは少ないですが） （B)「１はすべての整数の約数です」は正しいです。（整数）÷１の計算はあまりが０なので割り切れると言っていいわけで、これより１はすべての整数の約数です。０÷１＝０で余りはもちろんありません。１の約数は１のみで、他の整数は２個以上の約数を持っています。よって「すべての整数の約数」は１以外には存在しませんね。 （C)「どんな整数でも０の約数」は微妙に正しくありません。正しい言い方は「０はどんな整数の倍数にもなっている」です。(整数）×０₁＝０₂なので右辺の０₂は(整数）の整数（０₁）倍ですから倍数と考えられます。また(整数）は０₂の約数であるともいうのも正しいです。０₂÷(整数)＝０で余りはでないですから。しかし、０については注意が必要です。０で割ることはできないからです。その理由はあとで書きます。 ０₁×０₂＝０₃（区別するために１，２，３を振りました）は正しい式なので、０₃は０₁の倍数、０₃は０₂の倍数である、は正しいですね。でも０₁は０₃の約数であるとは言えません。０₂についても同様に０₃の約数であるとは言えません。なぜなら０₁が０₃の約数であるとしたら０₃÷０₁という計算ができて商が０で、余りが出ない、ということになってしまいます。でも０を０で割ることはできません。以上より「０以外のどんな整数でも０の約数」というのなら正しいです。 （D)約数が正の数のイメージがあるのは正しいです。でも、初めに書いたように、数学では、自分の土俵を自分で決められますので、「整数という土俵で勝負するぞ！」と宣言すれば、負の約数も考えます。よくある問題で「ｘ、ｙの積が４になるような自然数の組をすべて求めよ」といのと「ｘ、ｙの積が４になるような整数の組をすべて求めよ」といのとは答が異なります。後者では(1,4)(-1,-4)(2,2)(-2,-2)(4,1)(-4,-1) となります。負の約数を考えていますよ。 ◎自然数の世界では足し算は自由にできますが引き算は制限がありますね。引かれる数の方が引く数より大きくないと引き算ってできません。負でない整数の世界（自然数に０を加えた世界）では引かれる数の方が引く数以上なら計算できます。整数の世界では引き算は何の不都合もなく計算できます。割り算でも同じようなことが起こります。整数の世界では約数で割るときしか割り算はできません。でも分数や小数を含めた有理数のせかいでなら割り算は自由にできます。ほかにもいくつでも例はありますが、数学では（いろいろ考えられるときは）これから議論する世界をまずきちんと定めてから始めるのです。 ◎(数）÷０は計算できないわけ：それは割り算がそもそも何なのかから考えますよ。a×ｂ＝ｃのとき、aとｃからｂを求める計算が割り算です。 a×ｂ＝ｃのとき、ｂはｃ÷aで得られると決めました！３×４＝１２なので１２÷３＝４となります。 じゃ、０×６＝０だから０÷０＝６か？？？０×２３５＝０だから０÷０＝２３５か？？？という混乱が起きてしまうのです。 どんな数に０をかけても０になるので、０÷０は１つの値にならない！というか、値を定めることができない！！ ということで、０÷０という式(計算）は意味がなく、算数・数学では０で割ることはできません。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。 返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。 コメントよろしく。