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微分
途中で詰まってしまいました💦
判別式が0より小さくなるから、f’x＝0となるのはx＝pの時だけだと示して、x＝pの時に取る最小値が0以上になればよいという感じでやろうと思いました、、
回答
$f(x)$の$最小値$が$0$より大きければよいわけですよね。
$f'(x)=0$となる$x$の解を求めると、$x^2+px+p^2=0$を解いても解は虚数解になってしまうので、実数解は$x=p$のみとなると思います。
そして増減表を書いてみて、最小値が$0$より大きくなるような$p$の範囲を求めるのではないでしょうか？
ありがとうございます。解の公式で出してしまってもよかったんですね。 一応、判別式で虚数解しか出ないことを示そうと思ったんですが、解を一つ場合も出てきてしまいました。 判別式ではどうやったらできますか？
p=0とp≠0の二つで場合分けします。 (i)p=0の時、そもそもf(x)=x^4+12で常に正です。 (ii)p≠0の時、判別式Ｄは負になるので、f(x)にはx=pの他に実数解が無いことが分かります。 てことは、最初からp=0とp≠0の二つで場合分けした方がよかったですね。
その2次方程式はｐ＝０の時は実数解ｘ＝０を持つので、その２次方程式が「解を一つ（だけ持つ）場合」は、1次式から出てきたｘ＝ｐという解もｘ＝０となり、結局ｘ＝ｐ（＝０）のときしかf '(x)=0になりません。よってやはりｘ＝ｐで最小値になりますよ。そういうわけでf(p)≧０を解けばｐの範囲は求まります。 また、変数分離をして、定まった4次関数と傾きが変化する1次関数の上下関係を使っても解けますね。