公約数の問題

「２桁の３つの整数（１５、４０、X)の最大公約数は５、最小公倍数は６００である。この条件を満たすXの個数はいくつか」という問題で、添付の資料のように考えました。 添付の資料より、X＝２^a×3^b×5^2となります。添付の資料より、a=(0,1,2,3) b=(0,1)です。 解答に、２^a×3^b×5^2＜１００(２^2×5^2)と記載されていました。また、Xは２桁の整数（１００未満）とも記載されていました。 ①二桁の整数としているのに、２^2×5^2で１００と三桁になっているのはなぜでしょうか？ ②２^a×3^b×5^2＜　という部分の右側はどのようにして考えたらいいのでしょうか？ ③＜ですが、≦ではないとどこを見て判断できますか？ ④＜の右側部分は、２と５で、べき乗がそれぞれ２であるとどのようにして考えたらいいのでしょうか？例えば、２と３で考え、べき乗は、a=(0,1,2,3) b=(0,1)で、３のべき乗は１までということでしょうか？一つずつ試すのですか？効率のいい考え方を教えてください。

啓斗さん、こんにちは。 ①②③　そうです、２²×５²で３桁になってしまいます。だからｘは２²×５²より小さい数なはずです。 ですからｘ＜１００すなわち $2^a\times 3^b \times 5^2<100$ だからｘは２²×５²より小さい数なはずです。 ≦だと１００でもいいことになってしまいますから等号はつけてはいけません。 ④　aとｂの可能性が４通りと２通り、全部で８通りであることまでわかったら、あとは試してみても大した手間ではありません。３桁になるような組み合わせは除けばいいだけですから。 解答ではもう少し要領よく、ｘを表すうちの５²の部分は省いて、つまり解答の①式の両辺を５²で割った「 $2^a\times 3^b <2^2$ 」として、 $2^a\times 3^b $ が４を超えないようなa、ｂを調べていますよ。このほうが楽です。 これで大丈夫ですか？ ============================ 2026/03/19　16:15 あなたのコメントが来たので、自分の回答も読みなおしたら、２²と書くべきところを２³とした間違いや、３のところを５と間違いて書いている場所が4カ所ありました。ゴメンナサイ。上の回答は訂正済みです。これでもう一度考えてください。 間違えている説明で分かったというのはおかしいですから。ほんとうに理解できたのですか？ すみませんでした。