複素数の問題です

こんばんは。よろしくお願い致します。 画像の問題2の（3）なのですが、解答では0<θ<πと0≦θ<2πの範囲に分けているのはなぜでしょうか。0≦θ<πとπ≦θ<2πだったらわかりますが、なぜ最初から0≦θ<2πに設定しないのかがよくわかりません。

はなさん、こんにちは。回答が遅くなってゴメンナサイ。 たしかに、ちょっと変な模範解答ですね。 数学はいろいろな解法があるので、別にこの通りにやらなくてもできますので、これにこだわる必要はないですが。 この模範解答の（３）の２行目の式を（＊）としておきますね。 この解答では、０からπの間でのことがらを「図を頼りに」考えました。その結果、答の極形式が②のように求まりました。 本来なら次にπから２πの範囲を議論するのでしょうが、これを書いた人はそうではなく「０からπの範囲でもとまった②式がそのままπから２πの間に拡張できないか、同じ式にならないか、という方向で考えているみたいです。模範解答の「０≦θ＜２π」は「π≦θ＜２π」でもいいのですよね。０からπについては議論が終わっていますから。そこが変で、なんだこりゃぁ？となりそうです。 とにかく、書いた人はθがどのような角でも②式の右辺を変形すると（＊）になることを示していますよ。（＊）がすなわちz-|z|そのものですから②式で表わされる複素数はθの値にかかわらず（＊）と同じものになる、だからこれが答だ！と言っているのです。 πから２πの範囲の議論を別にやるのが面倒に思ったのかもしれません。 つまり、「ある範囲での答が全部の範囲での答にもなってる」という示し方です。お勧めはできません。ここまでは大丈夫ですか？ あなたがやるのなら、(i)として０≦θ＜πの場合は同じように図を頼りにやって、次に(ii)π≦θ＜２πの場合を、別な図を書いて「図から」求めたっていいのです。 π≦θ＜２πの場合の図を書いて、同じくベクトルQPが実軸とのなす角をPの偏角θを用いて表してみて。 すると途中がちょっと異なりますが、結果は同じになります。 $\pi+\dfrac{\theta-\pi}{2}=\dfrac{\pi +\theta}{2}$ という計算をすることになりますが、結果は同じになり、「よって０から２πで同じ②式になり、これが答だ！」で終わります。 ま、素直に(i)(ii)と分けた方が良い解答だと思います。 これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。