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重複組み合わせ

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年3月30日23:30）
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    「重複を許して」の定義についての質問です。 添付の資料のように、「重複を許して」とあります。重複を許すのいうのは、組み合わせの話であって、順列とは関係が無い話なんでしょうか？ つまり、「重複を許して」の問題では、コンビネーションのCの話であり、階乗「6!」や「₈P₄」などについては、重複云々は関係無いということでしょうか？

    スクリーンショット 2026-03-30 232506.png

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年3月31日10:00）
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    「重複を許して」というのは順列でも組み合わせでも出てきますよ。許さない場合とは求める式が異なります。「階乗「6!」や「₈P₄」などについては、重複云々は関係無いということ」の意味がよくわかりませんが、単純なPやＣの式では重複を許した場合の計算はできません。階乗のほうは重複順列で使いますよ。 『１から８までの数字から５個選んで一列に並べる並べ方』は重複を許していないですから $_8P_5$ 通り。 『１から８までの数字から重複を許して５個選んで一列に並べる並べ方』は $8^5$ 通り。 『１から８までの数字から５個を選ぶ選び方』は重複を許さない組み合わせですから $_8C_5$ 通り。 『１から８までの数字から重複を許して５個を選ぶ選び方』は重複を許しているので一番難しくなります。 参考書などに「ｒ個の物とｎ－１本の仕切りの棒の順列の数と同じである」という解説があるはずですので調べてみて。あるいはネットで「重複組合せ」で検索すればその説明がたくさん出てきますよ。計算のしかたは公式としては $_{n+r-1}C_r$ で求まりますが。
    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年3月31日19:13）
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    ありがとうございます。 公式も計算してみます！

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年3月31日19:22）
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    『１から８までの数字から重複を許して５個選んで一列に並べる並べ方』は ８^5 通り。 とありますが、もし、重複を許さないなら、8×7×6×5×4となりますか？つまり、８P５ また、重複を許さず、8個並べるなら、８！ですか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年3月31日20:47）
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    はい、その通りです！！

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年3月31日23:30）
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    ＞『１から８までの数字から５個を選ぶ選び方』は重複を許さない組み合わせですから8C5 について、 ①重複を許さないということは、ABもBAも同じ、つまり、普段使うCの組み合わせということでしょうか？ ②もし、１から８までの数字から５個を選ぶ選び方で、重複を許す組み合わせだと、12C4となりますか？

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年3月31日23:42）
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    もし、１から８までの数字から５個を選ぶ選び方で、重複を許す組み合わせだと、12C4となりますか？ について、 〇〇〇〇〇〇〇〇//// ５個を選ぶので、仕切りは４個。８までの数字と仕切りを足すと１２　１２C４ あっていますか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年4月1日11:17）
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    あってます！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年4月1日11:19）
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    あってますよ。で、なぜ仕切りが4になるのかとか、なぜ仕切りの棒なんて持ち出すのかは理解できましたか？重複組合せの公式がどうやって作られたのかを納得しないとほかの問題に使えませんからね。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年4月1日11:21）
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    あ、①の質問は意味が分からないのですが。「ABもBAも同じ、つまり、普段使うCの組み合わせ」？？

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年4月3日0:01）
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    ＞あってますよ。で、なぜ仕切りが4になるのかとか、なぜ仕切りの棒なんて持ち出すのかは理解できましたか？重複組合せの公式がどうやって作られたのかを納得しないとほかの問題に使えませんからね。 ８個数の中から、５個に分けると考えると、最低４個は必要になり、８までの数字と仕切りの本数の組み合わせによって、分け方が異なるからです。 逆に、例えば、どこのかごにも必ず一個以上ミカンを入れる場合だと、（かご　A,B,C)、〇/〇/〇/〇/〇/〇/〇/〇/〇/〇のどこかに仕切ればいいので、９C2となりますね。端っこに仕切ると、０個になる、かならず一個以上にならないですから。

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年4月3日0:05）
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    ＞①重複を許さないということは、ABもBAも同じ、つまり、普段使うCの組み合わせということでしょうか？ 組み合わせはCというものを使いますが、これは、順序は関係ないつまり、AB,BA（例）は同じと扱うということになります。重複を許さないということは、同じものを何回も選んではいけないということなので、同じものは一回しか選んではいけない、ABであるということから、普段使う、Cの考え方の組み合わせであるという意味です。

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