漸近線の本質理解のために

$x→∞$で関数$y=f(x)$の漸近線$y=ax+b$を求める公式として $\begin{cases}lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x) }{x}=a \\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax\}=b\end{cases}$　…(＊) がありますが、なぜこれで求められるのかと思いました。 ネットで検索するに(＊)が出てきた理由については何となく理解しました。 （以下理解した内容） まず、 　　　$\lim_{x\to \infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$　…① は、$x→∞$で、$y=ax+b$が$y=f(x)$の漸近線であることを意味する。 だから、①が成り立てば漸近線が求まる。 　①が成り立つ(①の左辺が存在する)ためには, 　　$\lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x)-(ax+b) }{x}=\lim_{x\to \infty}\{\dfrac{ f(x) }{x}-a-\dfrac{b}{x}\} =0$ 　となること,すなわち 　　$lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x) }{x}=a$　…② 　が必要　($\because\lim_{x\to \infty}\dfrac{b}{x}=0$） 　さらに,②の下で①が成り立つためには 　　　$\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax-b\}=0$ 　　$\therefore\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax\}=b$　…③ 　が必要 だから漸近線は②かつ③,すなわち(＊)で求まる。 （ここまで理解内容） しかし、②かつ③はあくまで必要条件であり、①の成立を示すには 十分条件であることをいわねばならないと思いました。 そのためには②かつ③の下で①が成り立つことを示せばよいのですが、 どのように示すかが皆目見当もつきません。 似たような問題(https://examist.jp/mathematics/limit/bunsuusiki-hituyoujyouken/)では、 必要条件の数値を代入することで十分性を確認していますが、 今回の場合、limがついている②や③を①に代入できそうになく手詰まりです。 そこで質問させていただきました。 ・②かつ③の下で①が成り立つことの証明(所謂十分性) 及び ・自分の理解の誤り(特に、②の下で～③が必要、の部分は少し自信がないです) 等々ご教授願います。 長くなりましたが、どうぞ宜しくお願いいたします。 ※参考にしたサイト https://www.youtube.com/watch?v=6hSJVy5yZUg https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/80/80-6.pdf (↑$3に記載あり) https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/zenkin1.htm ※当方東大理系志望の新高3です。 　少々難しくても頑張って理解に努めます。

atake さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 ちょっと誤解してそうなのは、（＊）の２つの式は、具体的にa、ｂの値を求めるための式です。 a、ｂが求まらなければ(存在しなければ）論外になります。 で、それらが求まった（存在した）という(必要）条件のもとに、 $\lim_{x\to \infty}\{f(x)-(px+q)\}=0$ を満たすp、qが存在すれば $y=px+q$ は $f(x)$ の漸近線である、となります（定義ですからね！）。 pにa、qにbを代入して $\lim_{x\to \infty}\{f(x)-(ax+b)\}$ $= \lim_{x\to \infty}[\{f(x)-ax\}-b]$ $=b-b$ $=0$　…◎ となり、（＊）で求めたa、ｂの値を使えばたしかに $y=ax+b$ が漸近線であることが分かりますので、十分性も確かめられます。 あくまでも（＊）は漸近線 $y=px+q$ の候補になるｐ、ｑの値を求める計算式にすぎません。 （漸化式の特性方程式みたいな感じです！） その計算式から得られたa、ｂはそもそも条件ではありません。計算結果の数値です。 いやまぁ、そこまで言わなくとも、「漸近線を持つとしたらそれは（＊）から得られたa、ｂを用いた $y=ax+b$ である」という書き方なら必要条件ですが。 ですからそれを用いて実際に$\lim_{x\to \infty}\{f(x)-(ax+b)\}$を計算して＝０になることは答案に書くべきですね（上の◎の部分）。その際は（＊）の下の式だけで十分ですね。 これで大丈夫ですか？ あなたが参照したというURLのページは見ましたが、2番目のやつはf'(x)で考えてもいいかという議論で今は関係なく、１，３番目のサイトはやはりあくまでも候補を求めるという話が主になっていると思います。でも、そうやって求めたa、ｂを用いれば確かに漸近線の定義を満たす直線の式になるのであまり説明はされていないようですが、答案上は厳密にはそのa、ｂを用いて十分性を示さなければいけないでしょうね。もっともグラフの略図を書いてほかの重要なことを調べる過程として使うだけならそこまでしなくてもいいと思います。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いた物が役に立ったのかどうか分かりません。コメントよろしく。