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多変数の最小値
いつも大変お世話になっております。
もう1問、答案の書き方が分からず困っている問題があるのですが、
お写真の(2)の問題です。
答えは1/9であるかと思いますが、
均等に分けたのが最小値だから〜とかしか説明が浮かびません。
教えていただけると助かります。
回答
yano yano さん、こんばんは。
（２）は（１）を利用するのでしょうね。
まずｚ＝ｋと固定しておいて、$x+y+k=1$ より $x+y=1-k$ となりますので、（１）より
$x^3+y^3$ の最小値は $\dfrac{1}{4}(1-k)^3$ と分かります。
（ $x=y=\dfrac{1-k}{2}$ のとき最小値をとります…①）
よって $x^3+y^3+k^3\geqq \dfrac{1}{4}(1-k)^3+k^3$ と分かります。
あとはこの右辺のｋについての3次関数を微分して増減を調べ、０≦ｋ≦１の範囲での最小値を求めればいいです。
$k=\dfrac{1}{3}$ のとき最小になることが分かりますよ。
このとき①よりｘ、ｙも1/3となります。
これで大丈夫ですか？
今やっと解けたのでお写真更新しましたが、すれ違いになってしまいすみません。 (1)を使うのですね！ とてもよくわかりそうです。 その方針でやってみます。ありがとうございました🙇
あ、すれ違いでしたか。遅くなってゴメンナサイ。 やはり（１）（２）と同じような形式の問題で文字数が1個増えてますから、（２）では（１）の利用を考えた方が楽ですね。 なお、気になっていますが、「お写真」は変ですよ。私の写真にならていねいに「お」をつけてもいいですが、自分の写真に「お」をつけるのは誤用ですよ。
たしかに。今まで気にしないで使ってました！笑 教えていただきありがとうございます！
どういたしまして！