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二変数関数の極限について
お久しぶりです。元「まかろん」です。大学受験の際にはたくさんの疑問にご丁寧に答えていただき、ありがとうございました。無事、大学に合格することができました。入試本番で戦えたのは、私だけの力ではなく、ご丁寧に何度もわかるまで教えてくださったおかげと思っております。
さて、大学の数学の授業で、今二変数関数の極限について学んでいます。授業で，極限値の候補を引いて、極限を求めると言う説明があったのですが、(ノートの、lim値の候補 と書いているところです)よくわからなかったので教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。
回答
極限値のアタリのつけ方として、
以下の方法があるみたいです。
x 軸に沿って近づける場合
（$y=0$ と固定して $x \to 0$）
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0^2}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|} = \lim_{x \to 0} |x| = 0
$
y 軸に沿って近づける場合
（$x=0$ と固定して $y \to 0$）
$\lim_{y \to 0} \frac{0^2 - y^2}{\sqrt{0^2 + y^2}} = \lim_{y \to 0} \frac{-y^2}{\sqrt{y^2}} = \lim_{y \to 0} \frac{-y^2}{|y|} = \lim_{y \to 0} (-|y|) = 0
$
どちらも0に収束するから、全体も$0$に収束しそう…という。
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0を証明せよ$
とかで出題されないのかな？
みなさん、ご回答ありがとうございます🙇♂️ 理解することができました！
こんにちは。大学進学おめでとうございます！少しでもお役に立てたのならよかったですが。 大学の数学は、ちょっと守備範囲外なのです。典型的な例題レベルならお答えできることもありますが、たいていは自信がないのでお答えしていません。ほかの方の回答をお待ちください。 一般には極限値がαである可能性がかなり高いという時はf(x)→αを示すよりf(x)－α→０、｜f(x)－α｜→０を示す方が楽な場合があります。そういうことを言っているのかもしれません。でもその問題で極限値が０である予想が立つという部分がないので、私にはよくわかりません。2行目にさり気なく書いてありますが根拠は書いてないので、それが予測の部分かどうかわかりません。 教科書にはそのような問題の例題で解説はないのですか？ 一番いいのは、先生に聞きに行ったり（友達になるのがいいですよ！）同じ授業を受けている学生に聞いてみるのがいいと思いますよ。 ご期待に添えず、ゴメンナサイ。
この問題に限っては、なにも「－０」などと考えなくても、3行目以降の推論は成立しますから、普通に極限を考えればできると思います。
ε–δ論法と言うやつですか🤔
いえ、それは関係ありません。その写真の流れのように普通に変形していって、ｒ→０のときθに無関係に０に収束することを示します。θによって極限値が異なるようなことになってしまうと「極限はない」ということになります。