積分

微分係数と導関数はどう違うのですか？？ 教科書を読んだり、調べたりしてもわからなかったので、教えて欲しいです🙇‍♀️

百花さん、こんにちは。 順番からすると、まず微分係数です。これは接線の傾きです。ある関数y=f(x)のグラフ上のある点（a,f(a)）における接線の傾きを求めようと思うと写真の定義式になります。そもそも2点間を結ぶ直線の傾きが $\dfrac{ｙの増加量}{ｘの増加量}$ で得られますが、それが定義の式の $\lim$ の後ろの部分です。これは2点(a,f(a)),(b,f(b)) （あるいは (a+h,f(a+h)）を通る直線の傾きで、ここでｂを限りなくaに近づける（あるいはｈを限りなく０に近づける）と点（a,f(a)）における接線の傾きに近づき、極限として接線の傾きが得られます。傾きは直線の方程式（1次式）のｘの係数ですからこの値をⅹ＝ａにおける微分係数と呼ぶことにしました。記号を $f'(a)$ としました。 $f'(a)$ は定数です。これがスタートです。 すると、具体的にⅹ＝１のときの微分係数は$f'(1)$ 、ｘ＝３のときの微分係数は $f'(3)$ などと書けて、一般の形のf '(a)　のaが１とか３とかに変わるとその点での微分係数が決まるので、f '(a) はａの値に応じて接線の傾きを計算してくれる、つまりf '(a) はaの関数だととらえることができます。aはｘ座標のaですから、aを変数ｘにして、f '(x) というのは各ｘの値に対応した微分係数を計算してくれる関数ということになります。微分係数のaという定数を変数ｘと考えたとき、これを導関数といいますよ。係数が関数に昇格したのです！ で、具体的にf(x)の導関数を求める時は、微分係数のaのところを変数ｘにして、微分係数の定義の2番目の式を使えばいいということなんです。それが導関数の定義の式です。 具体的に接線の傾きを知りたかったら導関数f'(x)のｘに数値を代入すればいいのです。いちいち定義の式から微分係数を求めなくてもよくなりました。 まとめると、微分係数はある1カ所における値（接線の傾き）なのに対して、導関数はすべてのｘについて微分係数（接線の傾き）を計算してくれる関数だということなんです。 こんなのでどうでしょうか。大丈夫？ 追加の質問をコメント欄に書いてください。しつこく突っ込んでください。腑に落ちるまで考えましょう。