中2数学

一辺の長さが6の正方形のなかに点A,B,C,Dをとる。(ただしどの2点間の距離も少なくとも5以上) このとき、四角形ABCDの面積は21より大きいことを示してください。 という問題が、納得できる答えが出てきません。中2の、三平方の定理や二次方程式はわかっている状態です。解説お願いします。模範解答がないのですが、21より大きいのは確かなのはわかります。

そう さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 あなたがどのように考えたのかわからないので、ダブっていたらごめんなさいね。 三平方の定理が大丈夫なら平方根も大丈夫ですね。また１：２：√3も知ってますね。 まず適当に四角形ABCDをそれぞれの辺や対角線が５以上大きくなるように取りますよ。 これを小さくしていきます。 対角線BDはそのままにしておいて、AやCを動かして面積を小さくしていきます。コンパスの針をBやDに置いて半径５の円弧を書き、それらの周上か外側にAやCがあるはずですので、２円の交点までAとCを移動します。これがBDを固定して、しかも各点が５以上離れているような四角形の面積が最小の状態です（底辺をBDとしたときの２つの三角形の高さの和が最小になるから）。これはわかりますか？あとはBDを短くすれば面積はさらに小さくなりますので、BD=5まで縮めた場合が最小です。このとき、四角形ABCDはひし形になり、しかも△ABDと△CBDは正三角形です！ACの長さは正方形の対角線より短いので、ひし形は正方形に中に入れます。 面積は（正三角形の2倍でもいいですが）AC×BD÷２＝$\dfrac{25\sqrt{3}}{2}>\dfrac{25\times 1.7}{2}=21.25>21$ （本当の最小値は$\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$ ですよ） これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いた物が役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく！ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2026/08/08　17:30～ コメント拝見しました。説明を省略したところをみごとに突かれました！ ちゃんと書きます！ とりあえずはAとCを2円の交点まで移動して、各辺が５の長さのひし形になりました。 このあとは２次関数の問題になります。大丈夫ですか？本来は高校１年の範囲です。 ひし形の対角線の交点をOとします。B＝ｘとしますよ。すると三平方の定理よりAO＝$\sqrt{25-x^2}$ です。 ひし形の面積をSとすると、S=（AO×BO÷２）×４＝$2x\sqrt{25-x^2}$ $S^2=4x^2(25-x^2)$ $x^2=X$ とおくと、$S^2=4X(25-X)$ という２次関数になり、$\dfrac{5}{2}\leqq x\leqq \dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ より $\dfrac{25}{4}\leqq X\leqq \dfrac{75}{4}$ 。 この範囲でのS²の最小値は $X=\dfrac{25}{4}$ のときであることがわかります。 ここは２次関数のグラフがわからないと難しいかも。 ということで $x=\sqrt{X}=\dfrac{5}{2}$ のときがS²すなわちSが最小になるときだと分かります。 $x=\dfrac{5}{2}$ ということはBD=5のときですから、△ABDや△CBDは正三角形になるのです。 高校１年の数学（２次関数のグラフや平方完成）を使いますが、大丈夫でしょうか？