対数関数の極限の証明

写真参照 「両辺log xが連続だから、」 の部分です。 limの中にlogが入るみたいなのですが、よくわかりません。 連続性がlimにどう関与してるのでしょうか…？

紅葉 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 その写真は手書きのようですが、なにかの模範解答そのものの写真ですか？それともあなたが模範解答なり解説を読んで書いた答案でしょうか？ 「両辺logが連続だから」というのはちょっと意味不明です。 単に「（関数）logが連続だから」ならわかります。 たとえばある関数$f(x),g(x)$について、 $\lim_{x\to p} g(x)$ が有限な実数値に収束しても $f(\lim_{x\to p} g(x))=\lim_{x\to p }f(g(x))=q$（ｑは有限な実数） という等式はいつでも成り立つわけではありません。 極限を取る操作を関数の中に入れたり外に出したりしてはいけないこともあります。 たとえば $x=2$ のとき$f(x)=2$ 、$x\ne 2$ のとき $f(x)=1$ という不連続な関数$f(x)$ と、$g(x)=x+1$ のようなときです。 このとき、$f(g(x))$ は $x=1$ のとき $f(g(x))=2$ 、$x\ne 1$ のとき $f(g(x))=1$ という関数になります。すると $\lim_{x\to 1}f(g(x))=1$（なぜなら $x\ne 1$）だし、$f(\lim_{x\to 1} g(x))=2$ となります。 ですから$f(\lim_{x\to 1} g(x))=\lim_{x\to 1 }f(g(x))$ は成り立ちません。 不連続な関数ではこんなことも起ります。 さて、質問の問題では、上の説明の $f(x)$ が対数関数logです。$g(x)$ が $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ です。 $f(x)$ のほうはｘ＞０の範囲で連続です！　$g(x)$ の極限値は(1)よりe（＞０）ですので、そのように極限と対数の順番を変えてもいいのです。よって(1)→(4)が示せます。 連続関数の定義は $\lim_{x\to p} f(x)=f(p)$ でしたね。このｐがさらに関数になっていると思って、よく考えてみてください。 limの位置を変えてもいいための保証が「対数関数はｘ＞０で連続である」という事実なのです。 まとめると、一般には極限を取る操作limの順を変えてはいけません。ただし、連続性が保証されていれば大丈夫！ということです。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いた物が役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく！