logについて

logの真数条件について質問です。 log₁₀(x+2)(x+5)=1 上のような問題があったとして、通常は行いませんがもし下のように変形したとします。 log₁₀(x+2)+log₁₀(x+5)=1 そうすると真数条件が変わってしまいます。なのに計算では与式のときの真数条件しか求めません。 計算過程では真数がマイナスになっても良いのですか？

lglink halmat さん、こんにちは。 「通常は行いませんが」→そうです！そのような分解はやってはいけないのです。 「下のように変形したとします」→この変形は正しくない（同値変形ではない）ので、これをやった時点で間違った方向に進みます。 その問題の真数条件は $(x+2)(x+5)>0$ すなわち 「$x<-5$ または $-2<x$」だけです！ 問題が $\log_{10}(x+2)+\log_{10}(x+5)=1$ と与えられていれば真数条件は $x+2>0$ かつ $x+5>0$ すなわち $x>-2$ ですが。 「積の対数は対数の和」つまり $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ というのは、その前に $M>0,N>0$ という条件が成り立っている時にできる変形ですよ。$\log_a M^2=2\log_aM$ というのも勝手に使うわけにはいきません。教科書に公式として書いてあるところをもう一度ながめてみて。その公式が成り立つための前提条件が添えてあるはずです！ 一般に最初に問題に与えられた対数の真数条件しか成り立ちません。分解した後では真数条件を満たしているという保証はないので分解できません！ その問題で「ｘは正の実数とする」とか書いてあればその変形をしてもいいですが。 あるいは $\log_a M^2N^2=\log_aM^2+\log_aN^2$ なら大丈夫ですが。 これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてくださいね。