軌跡と領域　点Mの軌跡

(1)番も解説お願いしたいのですが、(2)で、なぜ解と係数の関係で求められるのが説明してもらいたいです。また、どういう風に考えればよいのか教えてもらいたいです。よろしくお願いします。

木村 茉耶 さん、こんばんは。はじめてのかたですね。よろしく。 はじめてなのと、あなたのノートの写真がないので、あなたがどこまでできているのかわからず、余計なことや説明が分からないところも出てくるかもしれません。そのあたりをあとで、下のコメント欄にあれこれ書いてくださいね。 では（１）から。条件は「放物線と直線が２点で交わっている」ということです。 ということは交点が問題になりますね。 交点を求めるのは、２つの式を連立させてその解ｘ、ｙを求めればいいのは大丈夫ですか？ $y=x^2,y=m(x+2)$ を連立方程式として解きます。 放物線の方のｙすなわちｘ²を直線の式に代入してｙを無くします。 $x^2=m(x+2)$ この解が交点P、Qのｘ座標です。 交点が２つあるという条件ですから、この２次方程式が２つの実数解を持つということですよ。これは大丈夫ですか？ 整理した $x^2-mx-2m=0$ という２次方程式が２つの実数解を持つのですから、その判別式は正ですね。 よってｍが満たすべき条件は判別式をDとするとD>0 すなわち $m^2+8m>0$ この２次不等式を解くのは大丈夫ですか？ 解くと $m<-8,0<m$ が得られ、これが（１）の答ですね。 次、（２）。まずは中点の座標の表わし方はいいですか？両端の点のⅹ座標y座標とも足して２で割ります。 交点P、Qのｘ座標は（１）でできた２次方程式の解なので、解いたっていいのですが、ｍがガチャガチャ入ってきて計算が面倒ですので避けた方がいいです。必要なのはｘ座標の和ですから、ここで解と係数の関係が使えると分かります。 P、Qのｘ座標すなわち２次方程式の解をα、βとすると、ｙ座標はα²とβ²なので、P、Qの中点Mの座標は $x=\dfrac{\alpha +\beta}{2},y=\dfrac{\alpha ^2+\beta ^2}{2}$ ですよ。 また大事な変形 $\alpha ^2+\beta ^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ 解と係数の関係より $\alpha+\beta=m,\alpha\beta=-2m$ なので、これを利用して $x=\dfrac{m}{2},y=\dfrac{m^2+4m}{2}$ が得られますよ。 この２つの式はｍを仲立ちとしてｘ、ｙの関係が決まっていますので、ｍを消してｘ、ｙだけの式にすれば中点の座標が満たす式が得られるのです。 $x=\dfrac{m}{2}$ より $m=2x$ 。これをｙの式に代入して整理すれば $y=2x^2+4x$ という放物線の式になります。大丈夫かな？ これで中点Mの座標ｘ、ｙが満たす式が求まったので、中点はこの放物線の上にあることが分かりました。 でも…大事なこと…軌跡はこの放物線全部ではないのです。それは（１）で求めたように、ｍには制限が付いています。このおかげでｘ座標にも制限が付きます。 $x=\dfrac{m}{2}$ で、しかも$m<-8,0<m$ ですから、これらより $x<-4,0<x$ となり、軌跡は放物線$y=2x^2+4x$ のうちの $x<-4,0<x$ の部分となります。これが答です。 こんなふうになってしまうことは、グラフを考えると分かりますよ。 （１）のほうはｙ＝ｘ²と「点（ー２，０）を通る傾きｍの直線」が放物線と接する状態を見つければ分かります。傾きがー８で接するのですが、そんな状態がありうるということが分かればいいです。別に正確にグラフを描く必要はないです。 （２）ではｙ＝ｘ²とｙ＝２ｘ²＋４ｘという２つの放物線を書いてみます。するとｙ＝２ｘ²＋４ｘの一部はｙ＝ｘ²の外部に出てしまい、そんな外部に中点があるはずがないのです！ これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてくださいね。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いた物が役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく！